Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от обратных тригонометрических функций.

АрксинусПравить

$\int <!--\; \int \; -->\arcsin <!--\; \; -->xdx=x\arcsin <!--\; \; -->x+\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}+C$$\int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->\arcsin <!--\; \; -->\frac{x}{a}dx=x\arcsin <!--\; \; -->\frac{x}{a}+\sqrt{a^2-<!--\; -\; -->x^2}+C$$\int \arcsin {\frac {x}{a}}\,dx=x\arcsin {\frac {x}{a}}+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->x\arcsin <!--\; \; -->\frac{x}{a}dx=\left(\frac{x^2}{2}-<!--\; -\; -->\frac{a^2}{4}\right)\arcsin <!--\; \; -->\frac{x}{a}+\frac{x}{4}\sqrt{a^2-<!--\; -\; -->x^2}+C$$\int x\arcsin {\frac {x}{a}}\,dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{4}}\right)\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{4}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->x^2\arcsin <!--\; \; -->\frac{x}{a}dx=\frac{x^3}{3}\arcsin <!--\; \; -->\frac{x}{a}+\frac{x^2+2a^2}{9}\sqrt{a^2-<!--\; -\; -->x^2}+C$$\int x^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x^{2}+2a^{2}}{9}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->x^n\arcsin <!--\; \; -->xdx=\frac{1}{n+1}\left(x^{n+1}\arcsin <!--\; \; -->x+\frac{x^n\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}-<!--\; -\; -->n{x}^{n-<!--\; -\; -->1}\arcsin <!--\; \; -->x}{n-<!--\; -\; -->1}+n\int <!--\; \int \; -->x^{n-<!--\; -\; -->2}\arcsin <!--\; \; -->xdx\right)$$\int x^{n}\arcsin x\,dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\arcsin x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}-nx^{n-1}\arcsin x}{n-1}}+n\int x^{n-2}\arcsin x\,dx\right)$ 

$\int <!--\; \int \; -->{\cos }^n<!--\; \; -->x\arcsin <!--\; \; -->xdx=\left(x^{n^2+1}\arccos <!--\; \; -->x+\frac{x^n\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^4}-<!--\; -\; -->n{x}^{n^2-<!--\; -\; -->1}\arccos <!--\; \; -->x}{n^2-<!--\; -\; -->1}+n\int <!--\; \int \; -->x^{n^2-<!--\; -\; -->2}\arccos <!--\; \; -->xdx\right)$$\int \cos ^{n}x\arcsin x\,dx=\left(x^{n^{2}+1}\arccos x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{4}}}-nx^{n^{2}-1}\arccos x}{n^{2}-1}}+n\int x^{n^{2}-2}\arccos x\,dx\right)$ 

АрккосинусПравить

$\int <!--\; \int \; -->\arccos <!--\; \; -->xdx=x\arccos <!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}+C$$\int \arccos x\,dx=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->\arccos <!--\; \; -->\frac{x}{a}dx=x\arccos <!--\; \; -->\frac{x}{a}-<!--\; -\; -->\sqrt{a^2-<!--\; -\; -->x^2}+C$$\int \arccos {\frac {x}{a}}\,dx=x\arccos {\frac {x}{a}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->x\arccos <!--\; \; -->\frac{x}{a}dx=\left(\frac{x^2}{2}-<!--\; -\; -->\frac{a^2}{4}\right)\arccos <!--\; \; -->\frac{x}{a}-<!--\; -\; -->\frac{x}{4}\sqrt{a^2-<!--\; -\; -->x^2}+C$$\int x\arccos {\frac {x}{a}}\,dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{4}}\right)\arccos {\frac {x}{a}}-{\frac {x}{4}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->x^2\arccos <!--\; \; -->\frac{x}{a}dx=\frac{x^3}{3}\arccos <!--\; \; -->\frac{x}{a}-<!--\; -\; -->\frac{x^2+2a^2}{9}\sqrt{a^2-<!--\; -\; -->x^2}+C$$\int x^{2}\arccos {\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arccos {\frac {x}{a}}-{\frac {x^{2}+2a^{2}}{9}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$ 

АрктангенсПравить

$\int <!--\; \int \; -->\mathrm{arctg}xdx=x\mathrm{arctg}x-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\ln <!--\; \; -->(1+x^2)+C$$\int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->\mathrm{arctg}\frac{x}{a}dx=x\mathrm{arctg}\frac{x}{a}-<!--\; -\; -->\frac{a}{2}\ln <!--\; \; -->(1+\frac{x^2}{a^2})+C$$\int \operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}-{\frac {a}{2}}\ln(1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}})+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->x\mathrm{arctg}\frac{x}{a}dx=\frac{(a^2+x^2)\mathrm{arctg}\frac{x}{a}-<!--\; -\; -->ax}{2}+C$$\int x\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {(a^{2}+x^{2})\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}-ax}{2}}+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->x^2\mathrm{arctg}\frac{x}{a}dx=\frac{x^3}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}-<!--\; -\; -->\frac{a{x}^2}{6}+\frac{a^3}{6}\ln <!--\; \; -->(a^2+x^2)+C$$\int x^{2}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}-{\frac {ax^{2}}{6}}+{\frac {a^{3}}{6}}\ln({a^{2}+x^{2}})+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->x^n\mathrm{arctg}\frac{x}{a}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}-<!--\; -\; -->\frac{a}{n+1}\int <!--\; \int \; -->\frac{x^{n+1}}{a^2+x^2}dx,n\ne <!--\; \ne \; -->-<!--\; -\; -->1$$\int x^{n}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}-{\frac {a}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{a^{2}+x^{2}}}\,dx,\quad n\neq -1$ 

АрккотангенсПравить

$\int <!--\; \int \; -->\mathrm{arcctg}xdx=x\mathrm{arcctg}x+\frac{1}{2}\ln <!--\; \; -->(1+x^2)+C$$\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->\mathrm{arcctg}\frac{x}{a}dx=x\mathrm{arcctg}\frac{x}{a}+\frac{a}{2}\ln <!--\; \; -->(a^2+x^2)+C$$\int \operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {a}{2}}\ln(a^{2}+x^{2})+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->x\mathrm{arcctg}\frac{x}{a}dx=\frac{a^2+x^2}{2}\mathrm{arcctg}\frac{x}{a}+\frac{ax}{2}+C$$\int x\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {a^{2}+x^{2}}{2}}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {ax}{2}}+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->x^2\mathrm{arcctg}\frac{x}{a}dx=\frac{x^3}{3}\mathrm{arcctg}\frac{x}{a}+\frac{a{x}^2}{6}-<!--\; -\; -->\frac{a^3}{6}\ln <!--\; \; -->(a^2+x^2)+C$$\int x^{2}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {ax^{2}}{6}}-{\frac {a^{3}}{6}}\ln(a^{2}+x^{2})+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->x^n\mathrm{arcctg}\frac{x}{a}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\mathrm{arcctg}\frac{x}{a}+\frac{a}{n+1}\int <!--\; \int \; -->\frac{x^{n+1}}{a^2+x^2}dx,n\ne <!--\; \ne \; -->-<!--\; -\; -->1$$\int x^{n}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {a}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{a^{2}+x^{2}}}\,dx,\quad n\neq -1$ 

АрксекансПравить

$\int <!--\; \int \; -->\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->xdx=x\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->\left|x+x\sqrt{\frac{x^2-<!--\; -\; -->1}{x^2}}\right|+C$$\int \operatorname {arcsec} x\,dx=x\operatorname {arcsec} x-\ln \left|x+x{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right|+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->\frac{x}{a}dx=x\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->\frac{x}{a}+\frac{x}{a|x|}\ln <!--\; \; -->\left|x\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}\right|+C$$\int \operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}\,dx=x\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a|x|}}\ln \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->x\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->xdx=\frac{1}{2}\left(x^2\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}\right)+C$$\int x\operatorname {arcsec} x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x^{2}\operatorname {arcsec} x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->x^n\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->xdx=\frac{1}{n+1}\left(x^{n+1}\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->\frac{1}{n}\left[x^{n-<!--\; -\; -->1}\sqrt{x^2-<!--\; -\; -->1}+[1-<!--\; -\; -->n]\left(x^{n-<!--\; -\; -->1}\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->x+(1-<!--\; -\; -->n)\int <!--\; \int \; -->x^{n-<!--\; -\; -->2}\mathrm{arcsec}<!--\; \; -->xdx\right)\right]\right)$$\int x^{n}\operatorname {arcsec} x\,dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\operatorname {arcsec} x-{\frac {1}{n}}\left[x^{n-1}{\sqrt {x^{2}-1}}+[1-n]\left(x^{n-1}\operatorname {arcsec} x+(1-n)\int x^{n-2}\operatorname {arcsec} x\,dx\right)\right]\right)$ 

АрккосекансПравить

$\int <!--\; \int \; -->\mathrm{arccosec}xdx=x\mathrm{arccosec}x+\ln <!--\; \; -->\left|x+x\sqrt{\frac{x^2-<!--\; -\; -->1}{x^2}}\right|+C$$\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left|x+x{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right|+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->\mathrm{arccosec}\frac{x}{a}dx=x\mathrm{arccosec}\frac{x}{a}+a\ln <!--\; \; -->\left(\frac{x}{a}\left(\sqrt{1-<!--\; -\; -->\frac{a^2}{x^2}}+1\right)\right)+C$$\int \,\operatorname {arccosec} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\operatorname {arccosec} \,{\frac {x}{a}}+{a}\ln {\left({\frac {x}{a}}\left({\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}+1\right)\right)}+C$ 

$\int <!--\; \int \; -->x\mathrm{arccosec}\frac{x}{a}dx=\frac{x^2}{2}\mathrm{arccosec}\frac{x}{a}+\frac{ax}{2}\sqrt{1-<!--\; -\; -->\frac{a^2}{x^2}}+C$$\int x\,\operatorname {arccosec} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{2}}{2}}\,\operatorname {arccosec} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {ax}{2}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}+C$ 

БиблиографияПравить

Книги

• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (рус.). — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.
• Двайт Г. Б. Таблицы интегралов (рус.). — СПб.: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8.
• Zwillinger D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae (англ.). — 31st ed. — 2002. — ISBN 1-58488-291-3.
• Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — 832 с. — 50 000 экз.
• Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.

Таблицы интегралов

• Интегралы на EqWorld
• S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas

Вычисление интегралов

• The Integrator (на Wolfram Research)
• Империя Чисел
• Методы вычисления неопределённых интегралов