Альтернативная матрица

Не следует путать с Альтернированной матрицей.

Альтернати́вная ма́трица (англ. Alternant matrix) — в линейной алгебре матрица специального вида размерности $m\times <!--\; \times \; -->n$$m\times n$, задаваемая с помощью $m$$m$ элементов ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_m$$\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{m}$ и $n$$n$ функций $f_1,f_2,\dots <!--\; \dots \; -->f_n$$f_{1},f_{2},\dots f_{n}$ так, что каждый элемент матрицы $M_{i,j}=f_j({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i)$$M_{{i,j}}=f_{j}(\alpha _{i})$ или, в развёрнутом виде:

$M={\begin{bmatrix}f_{1}(\alpha _{1})&f_{2}(\alpha _{1})&\dots &f_{n}(\alpha _{1})\\f_{1}(\alpha _{2})&f_{2}(\alpha _{2})&\dots &f_{n}(\alpha _{2})\\f_{1}(\alpha _{3})&f_{2}(\alpha _{3})&\dots &f_{n}(\alpha _{3})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(\alpha _{m})&f_{2}(\alpha _{m})&\dots &f_{n}(\alpha _{m})\\\end{bmatrix}}$

Иногда альтернативная матрица определяется в траспонированном виде.

Примеры и использование альтернативных матрицПравить

Распространённый и часто встречающийся частный случай альтернативной матрицы — матрица Вандермонда. Альтернативная матрица принимает этот вид при $f_i(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{i-<!--\; -\; -->1}$$f_{i}(\alpha )=\alpha ^{{i-1}}$ . (Некоторые авторы называют именно матрицу Вандермонда альтернативной.) Более редкий частный случай альтернативной матрицы — матрица Мура  (англ.) (рус., в которой $f_i(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{q^{i-<!--\; -\; -->1}}$$f_{i}(\alpha )=\alpha ^{{q^{{i-1}}}}$ .

В более общем виде альтернативные матрицы применяются в теории кодирования.

Свойства альтернативных матрицПравить

Если исходная альтернативная матрица квадратная и если все функции $f_j(x)$$f_{j}(x)$  полиномиальны, то при условии ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_j$$\alpha _{i}=\alpha _{j}$  для всех $i<j$  детерминант альтернативной матрицы равен нулю, и таким образом, $({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_j-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i)$$(\alpha _{j}-\alpha _{i})$  является делителем детерминанта такой альтернативной матрицы при любых $i,j$$i,j$ , удовлетворяющим условию $1\leq i<j\leq n$ . Следовательно, детерминант Вандермонда

$V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\dots &\alpha _{1}^{{n-1}}\\1&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{2}^{{n-1}}\\1&\alpha _{3}&\dots &\alpha _{3}^{{n-1}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{n}&\dots &\alpha _{n}^{{n-1}}\\\end{bmatrix}}$ 

равный $\prod _{{i<j}}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$  также является делителем детерминантов таких альтернативных матриц. Отношение $\frac{detM}{detV}$${\frac {\det M}{\det V}}$  носит специальное название «биальтернант».

Заметим также, что в случае, когда $f_j(x)=x^{m_j}$$f_{j}(x)=x^{{m_{j}}}$ , мы получаем классическое определение многочленов Шура.

См. такжеПравить

• Матрица Вандермонда
• Список матриц

ЛитератураПравить

• A. C. Aitken. Determinants and Matrices. — 9th edition. — Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. — С. 111—123. — 144 с.
• Richard P. Stanley. Enumerative Combinatorics. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 2. — С. 334—342. — ISBN 0521560691.
• Thomas Muir. A treatise on the theory of determinants. — Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2003. — С. 321—363. — 766 с. — ISBN 0486495531.