Многочлены Шура

Многочлены Шура — названные в честь И. Шура симметрические многочлены от $n$$n$ переменных специального вида, параметризованные разбиениями неотрицательных целых чисел в сумму $n$$n$ неупорядоченных слагаемых, или, что то же самое, диаграммами Юнга с не более, чем $n$$n$ столбцами. Коэффициенты их задания как многочленов от элементарных симметрических многочленов Ньютона связаны со значениями характеров соответствующих представлений симметрической группы $S_n$$S_{n}$.

Формальное определениеПравить

Многочлен Шура, соответствующий разбиению $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},$$\lambda ,$  равен

$s_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\frac{det(x_i^{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_j+n-<!--\; -\; -->j}{)}_{i,j=1}^n}{det(x_i^{n-<!--\; -\; -->j}{)}_{i,j=1}^n}.$$s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\det(x_{i}^{\lambda _{j}+n-j})_{i,j=1}^{n}}{\det(x_{i}^{n-j})_{i,j=1}^{n}}}.$ 

Также имеются формулы, выражающие многочлены Шура через элементарные симметрические многочлены $e_r$$e_{r}$  и полные симметрические многочлены $h_r$$h_{r}$ :

$s_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=det(h_{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i-<!--\; -\; -->i+j}{)}_{1\le <!--\; \le \; -->i,j\le <!--\; \le \; -->n}$$s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=det(h_{\lambda _{i}-i+j})_{1\leq i,j\leq n}$ , где $n\ge <!--\; \ge \; -->l(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$n\geq l(\lambda )$ ,

$s_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=det(e_{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i^{\prime }-<!--\; -\; -->i+j}{)}_{1\le <!--\; \le \; -->i,j\le <!--\; \le \; -->m}$$s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=det(e_{\lambda '_{i}-i+j})_{1\leq i,j\leq m}$ , где ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{\prime }$$\lambda '$  - сопряжённое к $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  разбиение, а также $m\ge <!--\; \ge \; -->l({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{\prime })$$m\geq l(\lambda ')$ .

В частности, $s_{(n)}=h_n$$s_{(n)}=h_{n}$  и $s_{(1^n)}=e_n$$s_{(1^{n})}=e_{n}$ .

Связь с представлениями симметрической группыПравить

Многочлен Шура $s_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$s_{\lambda}(x_1,\dots,x_n)$ , соответствующий диаграмме Юнга $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n)$$\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ , выражается через элементарные симметрические многочлены Ньютона $p_k(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{x}_j^k$$p_k(x_1,\dots,x_n)=\sum_j x_j^k$  с коэффициентами, выражающимися через значения характера ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$\chi_{\lambda}$ , соответствующего $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  представления симметрической группы $S_n$$S_{n}$ . А именно,

$s_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=\underset{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots <!--\; \dots \; -->)}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})\cdot <!--\; \cdot \; -->\underset{k}{\prod <!--\; \prod \; -->}\frac{p_k^{r_k}}{r_k!},$$s_\lambda=\sum_{\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)}\chi^\lambda (\rho) \cdot \prod_k \frac{p^{r_k}_k}{r_k!},$ 

где запись $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots <!--\; \dots \; -->)$$\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)$  означает, что в классе сопряжённости $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  в разложении подстановки на непересекающиеся циклы имеется $r_j$$r_j$  циклов длины $j$$j$ .