Символ Леви-Чивиты

Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты. Обозначается ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}$$\varepsilon_{ijk}$. Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов (см. ниже).

Другие названия:

• абсолютно антисимметричный единичный тензор,
• полностью антисимметричный единичный тензор,
• абсолютно кососимметричный объект,
• тензор Леви-Чивиты (символ Леви-Чивиты является компонентной записью этого тензора),
• кососимметричный символ Кронекера (данный термин использовался в учебнике по тензорному исчислению Акивиса и Гольдберга).

ОпределениеПравить

 

Изображение символа Леви-Чивиты

В трёхмерном пространстве, в правом ортонормированном базисе (или вообще в правом базисе с единичным определителем метрики) символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:

$\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1,&P(i,j,k)=+1,\\-1,&P(i,j,k)=-1,\\0,&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{cases}}$ 

то есть для чётной перестановки индексов i, j, k он равен 1 (для троек (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)), для нечётной перестановки равен -1 (для троек (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3)), а в остальных случаях равен нулю (при наличии повторяющихся индексов). Для компонент ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}$$\varepsilon_{ijk}$  в левом базисе берутся противоположные числа.

Для общего случая (произвольных косоугольных координат с правой ориентацией базисных векторов) это определение обычно меняется на

$\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+{\sqrt {g}},&P(i,j,k)=+1,\\-{\sqrt {g}},&P(i,j,k)=-1,\\0&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{cases}}$ 

где $g$$g$  — определитель матрицы метрического тензора $g_{ij}$$g_{ij}$ , представляющий квадрат объёма параллелепипеда, натянутого на базис. Аналогично, для левого базиса берутся противоположные числа.

Такой набор компонент ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}$$\varepsilon_{ijk}$  представляет собой (истинный) тензор. Если, как это иногда делается в литературе, в качестве определения ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}$$\varepsilon_{ijk}$  использовать приведённые выше формулы для любой — как правой, так и левой — системы координат, то получившийся набор чисел будет представлять псевдотензор. При этом ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{ijk}$$\varepsilon ^{ijk}$  будет таким же, но с заменой $\sqrt{g}$${\sqrt {g}}$  на $1/\sqrt{g}.$$1/{\sqrt {g}}.$ 

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}$$\varepsilon_{ijk}$  может определяться также как смешанное произведение векторов базиса, в котором символ применяется:

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}=[{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_i{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_j{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_k].$$\varepsilon _{ijk}=[{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{j}{\vec {e}}_{k}].$ 

Это определение для любого, правого или левого базиса, так как разница знака для левых и правых базисов заключена в смешанном произведении. Абсолютная величина каждой ненулевой компоненты равна объёму параллелепипеда, натянутого на базис $\{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e_i}\}$$\{{\vec {e_{i}}}\}$ . Тензор, как и положено, антисимметричен по любой паре индексов. Определение эквивалентно приведённым выше.

Иногда пользуются альтернативным определением символа Леви-Чивиты без множителя $\sqrt{g}$${\sqrt {g}}$  в любых базисах (то есть таким, что все его компоненты всегда равны ±1 или 0, как в определении выше для ортонормированных базисов). В этом случае он сам по себе не является представлением тензора. Домноженный же на $\sqrt{g}$${\sqrt {g}}$  объект (совпадающий с ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}$$\varepsilon_{ijk}$  в определении выше и являющийся тензором) в этом случае обозначается другой буквой и называется, как правило, элементом объёма. Мы же здесь следуем определению Леви-Чивиты. (Это замечание имеет силу не только для трёхмерного пространства, но и для любой размерности.)

Геометрический смыслПравить

Как видно уже из определения через смешанное произведение, символ Леви-Чивиты связан с ориентированным объёмом и ориентированной площадью, представленной как вектор.

В трёхмерном (евклидовом) пространстве смешанное произведение трёх векторов

$V={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}{a}^i{b}^j{c}^k$$V=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}$ 

— это ориентированный объём (псевдоскаляр, модуль которого равен объёму, а знак зависит от ориентации тройки векторов) параллелепипеда, натянутого на три вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}$${\vec {a}}$ , $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}$${\vec {b}}$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{c}$${\vec {c}}$ .

Векторное произведение двух векторов

$S_i={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}{a}^j{b}^k$$S_{i}=\varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}$ 

— это ориентированная площадь параллелограмма, стороны которого — векторы $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}$${\vec {a}}$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}$${\vec {b}}$ , представленная псевдовектором, длина которого равна площади, а направление — ортогонально к плоскости параллелограмма.

Этот смысл сохраняется для любой размерности пространства n, если, конечно, брать $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  с соответствующим количеством индексов, под объёмом понимать n-мерный объём, а под площадью — (n − 1)-мерную (гипер-)площадь. При этом, естественно, в соответствующую формулу входит n и (n − 1) векторов — сомножителей. Например, для 4-мерного (евклидова) пространства:

$V={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijkm}{a}^i{b}^j{c}^k{d}^m,$$V=\varepsilon _{{ijkm}}a^{i}b^{j}c^{k}d^{m},$ 

$S_i={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijkm}{a}^j{b}^k{c}^m.$$S_{i}=\varepsilon _{{ijkm}}a^{j}b^{k}c^{m}.$ 

СвойстваПравить

• Определитель матрицы A размера 3×3 можно записать (здесь подразумевается стандартный, а следовательно ортонормированный базис) как

  ${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}.$ 

• Векторное произведение двух пространственных векторов записывается через этот символ:

  $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}=\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}^i{a}^j{b}^k=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{c}$${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}{\vec {e}}^{i}a^{j}b^{k}={\vec {c}}$ , где $c_i=\underset{j,k=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}{a}^j{b}^k$$c_{i}=\sum _{{j,k=1}}^{3}\varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}$  — его компоненты, а ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}^i$${\vec {e}}^{i}$  — векторы базиса.

• Смешанное произведение векторов тоже:

  $[\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{c}]=\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}{a}^i{b}^j{c}^k.$$[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}]=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.$ 

• В следующей формуле $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  обозначает символ Кронекера:

  $\varepsilon _{{ijk}}\varepsilon ^{{lmn}}={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{l}&\delta _{i}^{m}&\delta _{i}^{n}\\\delta _{j}^{l}&\delta _{j}^{m}&\delta _{j}^{n}\\\delta _{k}^{l}&\delta _{k}^{m}&\delta _{k}^{n}\\\end{vmatrix}}.$ 

• Суммирование по общему индексу даёт

  $\underset{i=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{imn}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{jm}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{kn}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{jn}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{km}.$$\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}.$ 

• В случае двух общих индексов $i,j$$i,j$  тензор сворачивается следующим образом:

  $\underset{i=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijn}=2{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{kn}.$$\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}.$ 

(Везде здесь в случае ортонормированного базиса все индексы можно просто переписать как нижние.)

Обобщение на случай n измеренийПравить

Символ Леви-Чивиты может быть легко обобщён на любое количество измерений больше единицы, если пользоваться определением через чётность перестановок индексов:

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijkl\dots <!--\; \dots \; -->}=\{\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}$$\varepsilon _{ijkl\dots }=\left\{{\begin{matrix}\!\\\!\\\!\end{matrix}}\right.$	$+\sqrt{g},$$+{\sqrt {g}},$  если $(i,j,k,l,\dots <!--\; \dots \; -->)$$(i,j,k,l,\dots )$  есть чётная перестановка набора $(1,2,3,4,\dots <!--\; \dots \; -->);$$(1,2,3,4,\dots );$
$-<!--\; -\; -->\sqrt{g},$$-{\sqrt {g}},$  если $(i,j,k,l,\dots <!--\; \dots \; -->)$$(i,j,k,l,\dots )$  есть нечётная перестановка набора $(1,2,3,4,\dots <!--\; \dots \; -->);$$(1,2,3,4,\dots );$
$0$$0$ , если хотя бы два индекса совпадают.

То есть он равен знаку (signum) перестановки, умноженному на корень из определителя метрики $\sqrt{g}=\sqrt{det\{g_{ij}\}}$${\sqrt {g}}={\sqrt {\det {\{g_{ij}\}}}}$  в случае, когда индексы принимают значения, реализующие перестановку набора $(1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->,n)$$(1,2,3,\dots ,n)$ , а в остальных случаях ноль. (Как видим, количество индексов равно размерности пространства $n$$n$ .)

• В псевдоевклидовых пространствах в случае, если сигнатура метрики такова, что $g<0$ , вместо него как правило берут $-<!--\; -\; -->g$$-g$ , чтобы $\sqrt{g}$${\sqrt {g}}$  получался вещественным.
• Во всех размерностях, где символ Леви-Чивиты определён, он представляет тензор (имеется в виду главным образом то, что надо проследить за тем, чтобы количество индексов символа совпадало с размерностью пространства). Кроме того, как видно из написанного выше, какие-то трудности с обычным определением символа Леви-Чивиты могут быть в пространствах, где не определён метрический тензор, или, скажем, $det\{g_{ij}\}=0$$\det {\{g_{ij}\}}=0$  или $det\{g^{ij}\}=0$$\det {\{g^{ij}\}}=0$ .

Можно показать, что для $n$$n$  измерений выполняются свойства, аналогичные трёхмерным:

• $\underset{i,j,k,\cdots <!--\; \cdots \; -->=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk\dots <!--\; \dots \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{ijk\dots <!--\; \dots \; -->}=n!$$\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{ijk\dots }=n!$ 

— что связано с тем, что существует $n!$$n!$  перестановок набора $(1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->,n)$$(1,2,3,\dots ,n)$ , а следовательно, столько же ненулевых компонент $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  с $n$$n$  индексами.

• $\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{pqr\dots }={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{p}&\delta _{i}^{q}&\delta _{i}^{r}&\dots \\\delta _{j}^{p}&\delta _{j}^{q}&\delta _{j}^{r}&\dots \\\delta _{k}^{p}&\delta _{k}^{q}&\delta _{k}^{r}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{vmatrix}}.$ 

После раскрытия определителя появляется множитель $n!$$n!$  и производятся упрощения в соответствующих символах Кронекера.

• Псевдоскалярное произведение двух векторов в двумерном пространстве:

  $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}\vee <!--\; \vee \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}=\underset{i,j=1}{\overset{2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ij}{a}^i{b}^j.$${\vec {a}}\vee {\vec {b}}=\sum _{i,j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j}.$ 

• Определитель матрицы $A$$A$  размера $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$  можно удобно записать с использованием $n$$n$ -мерного символа Леви-Чивиты

  $detA=\underset{i,j,k,\dots <!--\; \dots \; -->=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk\dots <!--\; \dots \; -->}{A}_{1i}{A}_{2j}{A}_{3k}\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{i_1,i_2,i_3,\dots <!--\; \dots \; -->,i_n=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{i_1{i}_2{i}_3\cdots <!--\; \cdots \; -->i_n}{A}_{1i_1}{A}_{2i_2}{A}_{3i_3}\cdots <!--\; \cdots \; -->A_{n{i}_n},$$\det {A}=\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }A_{1i}A_{2j}A_{3k}\cdots =\sum _{i_{1},i_{2},i_{3},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}i_{3}\cdots i_{n}}A_{1i_{1}}A_{2i_{2}}A_{3i_{3}}\cdots A_{ni_{n}},$ 

что является, по сути, просто переписанным с помощью этого символа определением определителя (одним из самых распространённых). Здесь базис подразумевается стандартным, и ненулевые компоненты ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk\dots <!--\; \dots \; -->}$$\varepsilon _{ijk\ldots }$  принимают тут значения $\pm <!--\; \pm \; -->1$$\pm 1$ .

• Прямое $n$$n$ -мерное обобщение векторного произведения $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  штук ($n$$n$ -мерных) векторов:

  $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{c}\times <!--\; \times \; -->\dots <!--\; \dots \; -->=\underset{i,j,k,m,\dots <!--\; \dots \; -->=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijkm\dots <!--\; \dots \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{f}}^i{a}^j{b}^k{c}^m\dots <!--\; \dots \; -->,$${\vec {p}}={{\vec {a}}\times {\vec {b}}\times {\vec {c}}\times \ldots }=\sum _{i,j,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }{\vec {f}}^{i}a^{j}b^{k}c^{m}\ldots ,$ 

где $p_i=\underset{j,k,m,\dots <!--\; \dots \; -->=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijkm\dots <!--\; \dots \; -->}{a}^j{b}^k{c}^m\dots <!--\; \dots \; -->$$p_{i}=\sum _{j,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }a^{j}b^{k}c^{m}\ldots$  — его компоненты, а ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{f}}^i$${\vec {f}}^{i}$  — базисные векторы. (Здесь для краткости записано выражение для ковариантных компонент и разложение в дуальном базисе.)

• Прямое $n$$n$ -мерное обобщение смешанного произведения $n$$n$  штук ($n$$n$ -мерных) векторов:

  $[\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{c}\dots <!--\; \dots \; -->]=\underset{i,j,k,\dots <!--\; \dots \; -->=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk\dots <!--\; \dots \; -->}{a}^i{b}^j{c}^k\dots <!--\; \dots \; -->.$$[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}\ldots ]=\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }a^{i}b^{j}c^{k}\ldots .$ 

Безындексная запись (для n измерений)Править

В безындексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется оператором дуальности, называемым звёздочка Ходжа, или просто оператор звездочка:

$(\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}{)}_{i_1,i_2,\dots <!--\; \dots \; -->,i_{n-<!--\; -\; -->k}}=\frac{1}{k!}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^{j_1,\dots <!--\; \dots \; -->,j_k}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{j_1,\dots <!--\; \dots \; -->,j_k,i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_{n-<!--\; -\; -->k}}$$(*\eta )_{{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{{n-k}}}}={\frac {1}{k!}}\eta ^{{j_{1},\ldots ,j_{k}}}\varepsilon _{{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{{n-k}}}}$ 

(для произвольного тензора $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->},$$\eta ,$  учитывая эйнштейновское правило суммирования).

См. такжеПравить

• Символ Кронекера
• Метрический тензор
• Символ Кристоффеля

СсылкиПравить

• Hermann R. (ed.), Ricci and Levi-Civita’s tensor analysis papers, (1975) Math Sci Press, Brookline (определение символа — см. с. 31).
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W. H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (См. параграф 3.5 для обзора применения тензоров в общей теории относительности).
• Русский перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация. — М.: Мир, 1977 (См. по указателю — Леви-Чивиты тензор).
• Димитриенко Ю. И., Тензорное исчисление, М.: Высшая школа, 2001. — 575 с.