Тензорный анализ

Тензорный анализ — обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей $D(M)$$D(M)$ дифференцируемого многообразия $M$$M$. Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрические объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении.

Полный тензор механических напряжений σ в декартовых координатах

Наибольший интерес представляют операторы, действие которых не выводит за пределы алгебры $D(M)$$D(M)$, среди таковых — ковариантная производная^[⇨], производная Ли^[⇨], внешняя производная^[⇨], тензор кривизны невырожденного, дважды ковариантного тензора^[⇨].

Ковариантная производнаяПравить

Основная статья: Ковариантная производная

Ковариантная производная вдоль векторного поля $X$$X$  — линейное отображение ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_X$$\nabla _{X}$  пространства векторных полей $D^1(M)$$D^{1}(M)$  многообразия $M$$M$ , зависящее от векторного поля $X$$X$  и удовлетворяющее условиям:

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{f}X+{}_{gV}Z=f{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{X}Z,$$\nabla _{f}X+{}_{{gV}}Z=f\nabla _{X}Z,$ 

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_X(fZ)=f{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{X}Z+(Xf)Y,$$\nabla _{X}(fZ)=f\nabla _{X}Z+(Xf)Y,$ 

где $X$$X$ , $Y$$Y$ , $Z\in <!--\; \in \; -->D^{\prime }(M)$$Z\in D'(M)$ , $f$$f$ , $g$$g$  — гладкие функции на $M$$M$ . Определяемые этим оператором связность $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  и параллельное перенесение позволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры $D(M)$$D(M)$  в себя; при этом отображение $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}X$$\nabla X$  есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со свёрткой.

В локальных координатах $u^1,u^2,\dots <!--\; \dots \; -->,u^n$$u^{1},\;u^{2},\;\ldots ,\;u^{n}$  ковариантная производная тензора с компонентами $T\left(T_{j_1\dots <!--\; \dots \; -->j_m}^{i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_l}\right)$$T\left(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$  относительно вектора $X={\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^i}$$X=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}$  определяется как:

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{X}T={\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^s\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{T}_{j_1\dots <!--\; \dots \; -->m}^{i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_l}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^s}+{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{k_s}^{i_1}{T}_{j_1\dots <!--\; \dots \; -->j_m}^{k\dots <!--\; \dots \; -->i_l}+\dots <!--\; \dots \; -->-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{j_{i,s}}^k{T}_{k\dots <!--\; \dots \; -->j_m}^{i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_l}\right),$$\nabla _{X}T=\xi ^{s}\left({\frac {\partial T_{{j_{1}\ldots m}}^{{i_{1}\ldots i_{l}}}}{\partial u^{s}}}+\Gamma _{{k_{s}}}^{{i_{1}}}T_{{j_{1}\ldots j_{m}}}^{{k\ldots i_{l}}}+\ldots -\Gamma _{{j_{{i,s}}}}^{k}T_{{k\ldots j_{m}}}^{{i_{1}\ldots i_{l}}}\right),$ 

${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{ks}^i$$\Gamma _{{ks}}^{i}$  — объект связности $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ .

Производная ЛиПравить

Основная статья: Производная Ли

Производная Ли вдоль векторного поля $X$$X$  — отображение $L_X$$L_{X}$  пространства $D^{\prime }(M)$$D'(M)$ , определяемое формулой $L_X:Y\to <!--\; \to \; -->[X,Y]$$L_{X}:Y\to [X,\;Y]$ , где $[X,Y]$$[X,\;Y]$  — коммутатор векторных полей $X$$X$ , $Y$$Y$ . Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования $D(M)$$D(M)$ , сохраняет тип тензоров и перестановочен со свёрткой. В локальных координатах производная Ли тензора $T\left(T_{j_1\dots <!--\; \dots \; -->j_m}^{i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_l}\right)$$T\left(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$  выражается так:

$L_{X}T={\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^k\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{T}_{j_1\dots <!--\; \dots \; -->j_m}^{i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_l}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^k}+T_{k\dots <!--\; \dots \; -->j_m}^{i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_l}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^i}+\dots <!--\; \dots \; -->-<!--\; -\; -->T_{j_1\dots <!--\; \dots \; -->j_m}^{k\dots <!--\; \dots \; -->i_l}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^{i_1}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^k}-<!--\; -\; -->\dots <!--\; \dots \; -->$$L_{X}T=\xi ^{k}{\frac {\partial T_{{j_{1}\ldots j_{m}}}^{{i_{1}\ldots i_{l}}}}{\partial u^{k}}}+T_{{k\ldots j_{m}}}^{{i_{1}\ldots i_{l}}}{\frac {\partial \xi ^{k}}{\partial u^{i}}}+\ldots -T_{{j_{1}\ldots j_{m}}}^{{k\ldots i_{l}}}{\frac {\partial \xi ^{{i_{1}}}}{\partial u^{k}}}-\ldots$ 

Внешняя производнаяПравить

Внешний дифференциал (внешняя производная) — линейный оператор $d$$d$ , сопоставляющий внешней дифференциальной форме (кососимметричному ковариантному тензору) степени $p$$p$  форму такого же вида и степени $p+1$$p+1$ , удовлетворяющий условиям:

$d({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2)=d{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2+(-<!--\; -\; -->1{)}^r{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1\wedge <!--\; \wedge \; -->d{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2,d(d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=0,$$d(\omega _{1}\wedge \omega _{2})=d\omega _{1}\wedge \omega _{2}+(-1)^{r}\omega _{1}\wedge d\omega _{2},\quad d(d\omega )=0,$ 

где $\wedge <!--\; \wedge \; -->$$\wedge$  — символ внешнего произведения, $r$$r$  — степень ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1$$\omega _{1}$ . В локальных координатах внешняя производная тензора $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_p}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\omega \langle \omega _{{i_{1}\ldots i_{p}}}\rangle$  выражается так:

$d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^k\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{i_1\dots <!--\; \dots \; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{i}}_k\dots <!--\; \dots \; -->i_{p+1}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^{i_k}}.$$d\omega =\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\partial \omega _{{i_{1}\ldots {\hat i}_{k}\ldots i_{{p+1}}}}}{\partial u^{{i_{k}}}}}.$ 

Оператор $d$$d$  — обобщение оператора $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}$${\mathrm {rot}}$ .

Тензор кривизныПравить

Тензор кривизны симметричного невырожденного дважды ковариантного тензора $g_{if}$$g_{{if}}$  представляет собой действие некоторого нелинейного оператора $R$$R$ :

$g_{if}\to <!--\; \to \; -->R_{mlk}^s=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{km}^s}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^l}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{kl}^s}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^m}+\underset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left({\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{lp}^s{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{km}^p-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{mp}^s{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{kl}^p\right)$$g_{if}\to R_{mlk}^{s}={\frac {\partial \Gamma _{km}^{s}}{\partial u^{l}}}-{\frac {\partial \Gamma _{kl}^{s}}{\partial u^{m}}}+\sum _{p}\left(\Gamma _{lp}^{s}\Gamma _{km}^{p}-\Gamma _{mp}^{s}\Gamma _{kl}^{p}\right)$ ,

где

${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{jk}^i=\frac{1}{2}{g}^{is}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{g}_{js}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^k}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{g}_{ks}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^j}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{g}_{jk}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^s}\right)$$\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{is}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial u^{k}}}+{\frac {\partial g_{ks}}{\partial u^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial u^{s}}}\right)$ .

ЛитератураПравить

• Сокольников И. С. Тензорный анализ. — М.: Наука, 1971. — 374 с.
• Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", 1965. — 456 с.
• Широков П. А. Тензорное исчисление. — М.—Л.: Гостехиздат, 1934. — 464 с.