Полугруппа

Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией $(S,\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$(S,\cdot )$. Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом; любую полугруппу $S$$S$, не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент $e\notin S$$e\not \in S$ и определив $es=s=se\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}s\in <!--\; \in \; -->S\cup <!--\; \cup \; -->\{e\};$$es=s=se\ \forall s\in S\cup \{e\};$ полученный моноид обычно обозначается как $S^1$$S^{1}$.

Примеры полугрупп: натуральные числа с операцией сложения, множество всех отображений множества в себя с операцией композиции, множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации. Любая группа является также и полугруппой; Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.

ОпределениеПравить

Полугруппой является (непустое) множество $\mathfrak{U}$${\mathfrak {U}}$ , в котором для любой пары взятых в определённом порядке элементов $X,Y\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{U}$$X,Y\in {\mathfrak {U}}$  определён новый элемент, называемый их произведением $U=XY\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{U}$$U=XY\in {\mathfrak {U}}$ , причём для любых $X,Y,Z\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{U}$$X,Y,Z\in {\mathfrak {U}}$  всегда выполнено $(XY)Z=X(YZ)$$(XY)Z=X(YZ)$ .

Виды полугруппПравить

Полугруппа $\mathfrak{U}$${\mathfrak {U}}$  называется коммутативной (или абелевой), если для любых $A,B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{U}$$A,B\in {\mathfrak {U}}$  всегда выполнено $AB=BA$$AB=BA$ .

Важные классы образуют полугруппы с сокращением:

• с левым сокращением, если при любых $X,A,B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{U}$$X,A,B\in {\mathfrak {U}}$  из $XA=XB$$XA=XB$  всегда следует $A=B$$A=B$ ;
• с правым сокращением, если при любых $Y,A,B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{U}$$Y,A,B\in {\mathfrak {U}}$  из $AY=BY$$AY=BY$  всегда следует $A=B$$A=B$ ;
• с двусторонним сокращением, если является полугруппой и с левым, и с правым сокращением одновременно.

Элемент $A$$A$  полугруппы $\mathfrak{U}$${\mathfrak {U}}$  называется регулярным, если в $\mathfrak{U}$${\mathfrak {U}}$  найдется такой элемент $X$$X$ , что $AXA=A$$AXA=A$ . Полугруппа, все элементы которой регулярны, называется регулярной полугруппой.

Элемент $A$$A$  полугруппы $\mathfrak{U}$${\mathfrak {U}}$  называется вполне регулярным, если в $\mathfrak{U}$${\mathfrak {U}}$  найдется такой элемент $X$$X$ , что $AXA=A$$AXA=A$  и $AX=XA$$AX=XA$ . Вполне регулярная полугруппа — полугруппа, все элементы которой вполне регулярны.

Полугруппа $\mathfrak{U}$${\mathfrak {U}}$ , в которой для любых $A,B\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{U}$$A,B\in {\mathfrak {U}}$  в $\mathfrak{U}$${\mathfrak {U}}$  всегда найдутся такие $X,Y$$X,Y$ , что $XA=B$$XA=B$  и $AY=B$$AY=B$ , является группой.

Структура полугруппыПравить

Если $A,B\subset <!--\; \subset \; -->S$$A,B\subset S$ , то принято обозначать $AB=\{ab\mid <!--\; \mid \; -->a\in <!--\; \in \; -->A,b\in <!--\; \in \; -->B\}$$AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}$ .

Подмножество $A$$A$  полугруппы $S$$S$  называется подполугруппой, если оно само является полугруппой относительно ограничения операции на подмножество. Для этого достаточно, чтобы для любых двух элементов из $A$$A$  их произведение также принадлежало $A$$A$ .

Если подмножество $A$$A$  непусто и $AS$$AS$  (соответственно, $SA$$SA$ ) лежит в $A$$A$ , то $A$$A$  называют правым (соответственно, левым) идеалом. Если $A$$A$  является одновременно левым и правым идеалом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение и объединение любого семейства подполугрупп также является подполугруппой; из этого следует, что подполугруппы образуют полную решётку. Пример полугруппы, в которой нет минимального идеала — положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как:

$a^n=\stackrel{n}{\stackrel{⏞<!--\; ⏞\; -->}{a\cdot <!--\; \cdot \; -->a\cdot <!--\; \cdot \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->a}}$$a^{n}={\overset {n}{\overbrace {a\cdot a\cdot \dots \cdot a} }}$ .

Для степени элемента справедливо соотношение $a^{m+n}=a^m\cdot <!--\; \cdot \; -->a^n,(a^n{)}^m=a^{nm},\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n,m\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$a^{{m+n}}=a^{m}\cdot a^{n},(a^{n})^{m}=a^{{nm}},\forall n,m\in {\mathbb N}$ .

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов $a$$a$  и $b$$b$  определено правое $(a/b)$$(a/b)$  и левое $(b/a)$$(b/a)$  частное.

В конечной полугруппе всегда есть идемпотент (элемент, для которого $aa=a$$aa=a$ ).

Гомоморфизм полугрупп — это отображение, сохраняющее структуру полугруппы. А именно, отображение $f$$f$  из полугруппы $R$$R$  в полугруппу $S$$S$  называется гомоморфизмом, если $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a,b\in <!--\; \in \; -->Sf(ab)=f(a)f(b)$$\forall a,b\in S\ f(ab)=f(a)f(b)$ . Две полугруппы $S$$S$  и $T$$T$  называются изоморфными, если существует биективный гомоморфизм $f:<!--\; :\; -->S\to <!--\; \to \; -->T$$f\colon S\to T$ .

Отношения ГринаПравить

Основная статья: Отношения Грина^[en]

В 1951 году Джеймс Грин^[en] ввёл пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе $S$$S$  определяются следующими формулами:

$aRb\iff <!--\; \iff \; -->a{S}^1=b{S}^1$$aRb\Leftrightarrow aS^{1}=bS^{1}$ 

$aLb\iff <!--\; \iff \; -->S^{1}a=S^{1}b$$aLb\Leftrightarrow S^{1}a=S^{1}b$ 

$aJb\iff <!--\; \iff \; -->S^{1}a{S}^1=S^{1}b{S}^1$$aJb\Leftrightarrow S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}$ 

$H=L\cap <!--\; \cap \; -->R$$H=L\cap R$ 

$D=R\vee <!--\; \vee \; -->L$$D=R\vee L$ 

Из определения непосредственно следует, что $R$$R$  — правая конгруэнция, а $L$$L$  — левая конгруэнция. Также известно, что $D=R\circ <!--\; \circ \; -->L=L\circ <!--\; \circ \; -->R$$D=R\circ L=L\circ R$ . Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы $a$$a$  и $b$$b$  R-эквивалентны, $u$$u$ , $v$$v$  такие, что $au=b$$au=b$ , $bv=a$$bv=a$  и $p_u,p_v$$p_{u},p_{v}$  — соответствующие правые сдвиги, то $p_u,p_v$$p_{u},p_{v}$  — взаимно обратные биекции $L_a$$L_{a}$  на $L_b$$L_{b}$  и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

ЛитератураПравить

• Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Ляпин Е. С. Полугруппы. — М.: Физматлит, 1960. — 592 с.