sgn

sgn (сигнум, от лат. signum — знак) — кусочно-постоянная функция действительного аргумента. Обозначается $\mathrm{sgn}<!--\; \; -->x$$\operatorname{sgn} x$. Определяется следующим образом:

График функции y = sgn x

$\operatorname{sgn} x={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}$

Функция не является элементарной.

Часто используется представление

$\mathrm{sgn}<!--\; \; -->x=\frac{d}{dx}|x|$$\operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|$

При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа.

Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.

История и обозначенияПравить

Функцию $\mathrm{sgn}<!--\; \; -->x$$\operatorname{sgn} x$  ввёл Леопольд Кронекер в 1878 году, сначала он обозначал её иначе: $[x]$$[x]$ . В 1884 году Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с $\mathrm{sgn}$$\operatorname{sgn}$ , функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение $sgn.x$$sgn.x$ , которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке. Иногда функцию обозначают как $\mathrm{sign}<!--\; \; -->x$$\operatorname {sign} x$ .

Свойства функцииПравить

• Область определения: $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ .
• Область значений: $\{-<!--\; -\; -->1;0;+1\}$$\{-1;0;+1\}$ .
• Гладкая во всех точках, кроме нуля.
• Функция нечётна.
• Точка $x=0$$x=0$  является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны $+1$$+1$  и $-<!--\; -\; -->1$$-1$  соответственно.
• $|x|=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->x\cdot <!--\; \cdot \; -->x$$|x|=\operatorname{sgn} x\cdot x$  и $x=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->x\cdot <!--\; \cdot \; -->|x|$$x=\operatorname{sgn} x\cdot |x|$  для $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$\forall x\in {\mathbb {R}}$ . Иначе говоря,

$\mathrm{sgn}<!--\; \; -->x=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x}$$\operatorname {sgn} x={x \over |x|}={|x| \over x}$  при $x\ne <!--\; \ne \; -->0$$x \ne 0$ .

• $\frac{d}{dx}\mathrm{sgn}<!--\; \; -->x=2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x)$${\frac {d}{dx}}\operatorname{sgn} x=2\cdot \delta (x)$ , где $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x)$$\delta (x)$  — дельта-функция Дирака.
• $\mathrm{sgn}<!--\; \; -->x\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{sgn}<!--\; \; -->y=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->(x\cdot <!--\; \cdot \; -->y)$$\operatorname{sgn} x\cdot \operatorname{sgn} y=\operatorname{sgn}(x\cdot y)$ .
• $\mathrm{sgn}<!--\; \; -->x=\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{\sin <!--\; \; -->tx}{t}dt$$\operatorname{sgn} x={\frac {2}{\pi }}\int _{{0}}^{{\infty }}{\frac {\sin tx}{t}}dt$ .

Обобщения функции для комплексного аргументаПравить

• Представление

$\operatorname {sgn} z={\begin{cases}{\frac {z}{|z|}},&z\neq 0\\0,&z=0\end{cases}}$ 

даёт одно из возможных обобщений функции сигнум на множество комплексных чисел. При этом $\frac{z}{|z|}=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=e^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$${\frac {z}{|z|}}=\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }$ , где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{Arg}<!--\; \; -->z$$\varphi =\operatorname {Arg} z$  — аргумент комплексного числа $z$$z$ . При $z\ne <!--\; \ne \; -->0$$z\neq 0$  результатом функции $\mathrm{sgn}<!--\; \; -->z$$\operatorname {sgn} z$  является точка единичной окружности, ближайшая к числу $z$$z$ . Смысл данного обобщения заключается в том, чтобы посредством радиус-вектора единичной длины показать направление на комплексной плоскости, отвечающее числу $z$$z$ . Это же направление в полярных координатах задаёт угол $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ . Неопределённое направление, отвечающее числу $z=0$$z=0$ , выражается нулевым значением функции. Например, таким образом функция signum определена в стандартной библиотеке комплексных чисел в языке Haskell.

• Другой вариант обобщения функции, обозначаемый как $\mathrm{csgn}$$\operatorname {csgn}$ , определяется следующим образом:

$\operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\operatorname {Re} z>0\\-1,&\operatorname {Re} z<0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Im} z&\operatorname {Re} z=0\end{cases}}$ 

Данное обобщение используется, например, в приложениях Mathcad и Maple.

См. такжеПравить

• Функция Хевисайда

ЛитератураПравить

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.