R-матрица

Термин R-матрица используется в связи с уравнением Янга-Бакстера. Это уравнение, впервые введенное в области статистической механики, получило свое название от независимой работы С. Н. Янга и Р. Дж. Бакстера. Классическая R-матрица возникает в определении классического уравнения Янга–Бакстера.

ОпределениеПравить

Пусть $V$$V$ - векторное пространство над полем $k$$k$ . Линейный автоморфизм $c$$c$ пространства $V\otimes <!--\; \otimes \; -->V$$V\otimes V$  называется R-матрицей, если он удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера: $(c\otimes <!--\; \otimes \; -->{\text{id}}_V)({\text{id}}_V\otimes <!--\; \otimes \; -->c)(c\otimes <!--\; \otimes \; -->{\text{id}}_V)=({\text{id}}_V\otimes <!--\; \otimes \; -->c)(c\otimes <!--\; \otimes \; -->{\text{id}}_V)({\text{id}}_V\otimes <!--\; \otimes \; -->c)$$(c\otimes {\text{id}}_{V})({\text{id}}_{V}\otimes c)(c\otimes {\text{id}}_{V})=({\text{id}}_{V}\otimes c)(c\otimes {\text{id}}_{V})({\text{id}}_{V}\otimes c)$ , которое рассматривается как соотношение в группе автоморфизмов пространства $V\otimes <!--\; \otimes \; -->V\otimes <!--\; \otimes \; -->V$$V\otimes V\otimes V$ .

ПримерПравить

1. Пусть $V$$V$  — конечномерное векторное пространство над полем $k$$k$  с базисом $\{e_1,...,e_N\}$$\{e_{1},...,e_{N}\}$ , $p,q$$p,q$  — обратимые скаляры, $\{r_{ij}{\}}_{1\le <!--\; \le \; -->i,j\le <!--\; \le \; -->N}$$\{r_{ij}\}_{1\leq i,j\leq N}$  — семейство элементов поля $k$$k$ , т.ч. $r_{ii}=q$$r_{ii}=q$  и $r_{ij}{r}_{ji}=p$$r_{ij}r_{ji}=p$  для $i\ne <!--\; \ne \; -->j$$i \neq j$  , $c$$c$  — автоморфизм, задающийся на базисе пространства $V\otimes <!--\; \otimes \; -->V$$V\otimes V$  формулами: $c(e_i\otimes <!--\; \otimes \; -->e_i)=q{e}_i\otimes <!--\; \otimes \; -->e_i,$$c(e_{i}\otimes e_{i})=qe_{i}\otimes e_{i},$  $c(e_{i}\otimes e_{j})={\begin{cases}r_{ji}e_{j}\otimes e_{i},&i<j\\r_{ji}e_{j}\otimes e_{i}+(q-pq^{-1})e_{i}\otimes e_{j},&i>j\end{cases}}$ . Автоморфизм $c$$c$  является решением уравнения Янга-Бакстера.