Уравнение Янга — Бакстера

Уравнение Янга — Бакстера (уравнение факторизации, уравнение треугольников) — уравнение, относящееся к классу точно решаемых задач. Имеет вид локальных преобразований эквивалентности, которые появляются в самых разнообразных случаях, таких как электрические цепи, теория узлов и теория кос, спиновые системы. Получило своё имя от независимых работ Ч. Н. Янга 1968 г. и Р. Д. Бакстера 1971 г. по статистической механике.

Зависимое от параметров уравнение Янга — БакстераПравить

Обозначим через $A$$A$  ассоциативную алгебру с единицей. Зависимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для $R(u)$$R(u)$ , зависимого от параметра обратимого элемента тензорного произведения алгебр $A\otimes <!--\; \otimes \; -->A$$A\otimes A$  (здесь $u$$u$  — параметр, который обычно изменяется по всем вещественным числам в случае аддитивного параметра, или по всем положительным вещественным числам в случае мультипликативного параметра). В случае аддитивного параметра, уравнение Янга — Бакстера является функциональным уравнением

$R_{12}(u)R_{13}(u+v)R_{23}(v)=R_{23}(v)R_{13}(u+v)R_{12}(u),$$R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12}(u),$ 

на функцию $R$$R$ , в которую указанным образом подставлены две переменные $u$$u$  и $v$$v$ . При некоторых $u$$u$  $R(u)$$R(u)$  может превратиться в одномерный проектор, это приводит к квантовому детерминанту. Для мультипликативного параметра уравнение Янга — Бакстера имеет вид

$R_{12}(u)R_{13}(uv)R_{23}(v)=R_{23}(v)R_{13}(uv)R_{12}(u),$$R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u),$ 

на функцию $R$$R$ , где $R_{12}(w)={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{12}(R(w))$$R_{12}(w)=\phi _{12}(R(w))$ , $R_{13}(w)={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{13}(R(w))$$R_{13}(w)=\phi _{13}(R(w))$ , и $R_{23}(w)={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{23}(R(w))$$R_{23}(w)=\phi _{23}(R(w))$ , для всех величин параметра $w$$w$ , и ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{12}:A\otimes <!--\; \otimes \; -->A\to <!--\; \to \; -->A\otimes <!--\; \otimes \; -->A\otimes <!--\; \otimes \; -->A$$\phi _{12}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ , ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{13}:A\otimes <!--\; \otimes \; -->A\to <!--\; \to \; -->A\otimes <!--\; \otimes \; -->A\otimes <!--\; \otimes \; -->A$$\phi _{13}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ , и ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{23}:A\otimes <!--\; \otimes \; -->A\to <!--\; \to \; -->A\otimes <!--\; \otimes \; -->A\otimes <!--\; \otimes \; -->A$$\phi _{23}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ , являются морфизмами алгебры, определёнными как

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{12}(a\otimes <!--\; \otimes \; -->b)=a\otimes <!--\; \otimes \; -->b\otimes <!--\; \otimes \; -->1,$$\phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,$ 

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{13}(a\otimes <!--\; \otimes \; -->b)=a\otimes <!--\; \otimes \; -->1\otimes <!--\; \otimes \; -->b,$$\phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,$ 

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{23}(a\otimes <!--\; \otimes \; -->b)=1\otimes <!--\; \otimes \; -->a\otimes <!--\; \otimes \; -->b.$$\phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.$ 

В некоторых случаях детерминант^{[неоднозначно]} $R(u)$$R(u)$  может обнулиться при определённых величинах спектрального параметра $u=u_0$$u=u_{0}$ , и иногда $R(u)$$R(u)$  даже превращается в одномерный проектор. В этом случае может быть определён квантовый детерминант.

Независимое от параметра уравнение Янга — БакстераПравить

Обозначим через $A$$A$  ассоциативную алгебру с единицей. Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для $R$$R$ , обратимого элемента тензорного произведения алгебр $A\otimes <!--\; \otimes \; -->A$$A\otimes A$ . Уравнение Янга — Бакстера имеет вид

$R_{12}{R}_{13}{R}_{23}=R_{23}{R}_{13}{R}_{12},$$R_{12}\ R_{13}\ R_{23}=R_{23}\ R_{13}\ R_{12},$ 

где $R_{12}={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{12}(R)$$R_{12}=\phi _{12}(R)$ , $R_{13}={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{13}(R)$$R_{13}=\phi _{13}(R)$ , и $R_{23}={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{23}(R)$$R_{23}=\phi _{23}(R)$ .

Пусть $V$$V$  — модуль над $A$$A$ . Пусть $T:V\otimes <!--\; \otimes \; -->V\to <!--\; \to \; -->V\otimes <!--\; \otimes \; -->V$$T:V\otimes V\to V\otimes V$  линейная карта, удовлетворяющая $T(x\otimes <!--\; \otimes \; -->y)=y\otimes <!--\; \otimes \; -->x$$T(x\otimes y)=y\otimes x$  для всей $x,y\in <!--\; \in \; -->V$$x,y\in V$ . Тогда представление группы кос, $B_n$$B_n$ , может быть построено на $V^{\otimes <!--\; \otimes \; -->n}$$V^{\otimes n}$  ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i=1^{\otimes <!--\; \otimes \; -->i-<!--\; -\; -->1}\otimes <!--\; \otimes \; -->\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{R}\otimes <!--\; \otimes \; -->1^{\otimes <!--\; \otimes \; -->n-<!--\; -\; -->i-<!--\; -\; -->1}$$\sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R}}\otimes 1^{\otimes n-i-1}$  для $i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1$$i=1,\dots ,n-1$ , где $\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{R}=T\circ <!--\; \circ \; -->R$${\check {R}}=T\circ R$  на $V\otimes <!--\; \otimes \; -->V$$V\otimes V$ . Это представление может использоваться, чтобы определить квазиинварианты кос, узлов.

ЛитератураПравить

• H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989, Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9.
• Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.
• Jacques H.H. Perk and Helen Au-Yang, "Yang–Baxter Equations", (2006), arXiv:math-ph/0606053.
• Манин Ю. И. Введение в теорию схем и квантовые группы. — М.: МЦНМО, 2012. — 256 с. — ISBN 978-5-94057-635-8.