Функторы Ext — производные функторы функтора Hom. Они впервые появились в гомологической алгебре, где они играют центральную роль, например, в теореме об универсальных коэффициентах, но теперь они используются во многих разных областях математики.
Этот функтор естественным образом появляется при изучении расширений модулей. Название происходит от англ. extension — расширение.
Мотивировка: расширения модулей править
Эквивалентность расширений править
Пусть A — абелева категория. Согласно теореме Митчелла о вложении[en], можно считать, что мы работаем с категорией модулей. Расширением объекта Z при помощи объекта X называется короткая точная последовательность вида
- .
Два расширения
называются эквивалентными, если существует морфизм , делающий диаграмму
коммутативной, где — тождественный морфизм. Согласно лемме о змее, g является изоморфизмом.
Класс расширений Z при помощи X по модулю этого отношения эквивалентности образует множество, которое обозначают и называют множеством классов расширений Z при помощи X.
Сумма Баера править
Если даны два расширения
можно построить их сумму Баера, рассмотрев расслоённое произведение над ,
Мы рассматриваем фактор
- ,
то есть факторизуем по соотношениям . Расширение
где первая стрелка отображает в , а вторая отображает в , называется суммой Баера расширений E и E'.
С точностью до эквивалентности расширений, сумма Баера коммутативна и тривиальное расширение является нейтральным элементом. Расширение, обратное к 0 → B → E → A → 0 — это то же самое расширение, в котором у одной из стрелок изменён знак, например, морфизм g заменён на -g.
Таким образом, множество расширений с точностью до эквивалентности образует абелеву группу.
Определение править
Пусть R — кольцо, рассмотрим категорию R-модулей R-Mod. Зафиксируем объект A категории R-Mod и обозначим через T функтор Hom
- .
Этот функтор точен слева. Он обладает правыми производными функторами. Функторы Ext определяются следующим образом:
- .
В частности, .
Двойственным образом, можно использовать контравариантный функтор Hom и определить . Определённые таким образом функторы Ext изоморфны. Их можно вычислить при помощи инъективной резольвенты B или проективной резольвенты A соответственно.
Свойства править
- Exti
R(A, B) = 0 при i > 0, если B инъективен или A проективен. - Обратное утверждение также верно: если Ext1
R(A, B) = 0 для всех A, то Exti
R(A, B) = 0 для всех A и B инъективен; если Ext1
R(A, B) = 0 для всех B, то Exti
R(A, B) = 0 для всех B, и A проективен. - при n ≥ 2 для абелевых групп A и B.
- для абелевой группы B. Это может быть использовано для вычисления для любой конечно порождённой абелевой группы A.
- Пусть A — конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом R. Тогда для любого мультипликативно замкнутого подмножества S, любого модуля B и любого n, .
- Если R коммутативно и нётерово, и A — конечно порождённый R-модуль, то следующие утверждения эквивалентны для любого модуля B и любого n:
- Для каждого простого идеала кольца R, .
- Для каждого максимального идеала кольца R, .
Литература править
- Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
- Weibel, Charles A. An introduction to homological algebra. — Cambridge University Press, 1994. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38). — ISBN 978-0-521-55987-4.
Для улучшения этой статьи желательно:
|