Это не официальный сайт wikipedia.org 01.01.2023

Функтор Ext — Википедия

Функторы Ext — производные функторы функтора Hom. Они впервые появились в гомологической алгебре, где они играют центральную роль, например, в теореме об универсальных коэффициентах, но теперь они используются во многих разных областях математики.

Этот функтор естественным образом появляется при изучении расширений модулей. Название происходит от англ. extension — расширение.

Мотивировка: расширения модулей править

Эквивалентность расширений править

Пусть A — абелева категория. Согласно теореме Митчелла о вложении[en], можно считать, что мы работаем с категорией модулей. Расширением объекта Z при помощи объекта X называется короткая точная последовательность вида

0 X Y Z 0  .

Два расширения

0 X Y Z 0  
0 X Y Z 0  

называются эквивалентными, если существует морфизм g : Y Y  , делающий диаграмму

0 X Y Z 0 id g id 0 X Y Z 0  

коммутативной, где id   — тождественный морфизм. Согласно лемме о змее, g является изоморфизмом.

Класс расширений Z при помощи X по модулю этого отношения эквивалентности образует множество, которое обозначают Ext 1 ( Z , X )   и называют множеством классов расширений Z при помощи X.

Сумма Баера править

Если даны два расширения

0 B E A 0  
0 B E A 0  

можно построить их сумму Баера, рассмотрев расслоённое произведение над A  ,

Γ = { ( e , e ) E E | g ( e ) = g ( e ) } .  

Мы рассматриваем фактор

Y = Γ / { ( f ( b ) , 0 ) ( 0 , f ( b ) ) | b B }  ,

то есть факторизуем по соотношениям ( f ( b ) + e , e ) ( e , f ( b ) + e )  . Расширение

0 B Y A 0  

где первая стрелка отображает b   в [ ( f ( b ) , 0 ) ] = [ ( 0 , f ( b ) ) ]  , а вторая отображает ( e , e )   в g ( e ) = g ( e )  , называется суммой Баера расширений E и E'.

С точностью до эквивалентности расширений, сумма Баера коммутативна и тривиальное расширение является нейтральным элементом. Расширение, обратное к 0 → BEA → 0 — это то же самое расширение, в котором у одной из стрелок изменён знак, например, морфизм g заменён на -g.

Таким образом, множество расширений с точностью до эквивалентности образует абелеву группу.

Определение править

Пусть R — кольцо, рассмотрим категорию R-модулей R-Mod. Зафиксируем объект A категории R-Mod и обозначим через T функтор Hom

T ( B ) = Hom R ( A , B )  .

Этот функтор точен слева. Он обладает правыми производными функторами. Функторы Ext определяются следующим образом:

Ext R n ( A , B ) = ( R n T ) ( B )  .

В частности, Ext 0 = Hom  .

Двойственным образом, можно использовать контравариантный функтор Hom G ( A ) = Hom R ( A , B )   и определить Ext R n ( A , B ) = ( R n G ) ( A )  . Определённые таким образом функторы Ext изоморфны. Их можно вычислить при помощи инъективной резольвенты B или проективной резольвенты A соответственно.

Свойства править

  • Exti
    R(A, B) = 0 при i > 0, если B инъективен или A проективен.
  • Обратное утверждение также верно: если Ext1
    R(A, B) = 0 для всех A, то Exti
    R(A, B) = 0 для всех A и B инъективен; если Ext1
    R(A, B) = 0 для всех B, то Exti
    R(A, B) = 0 для всех B, и A проективен.
  • Ext R n ( α A α , B ) α Ext R n ( A α , B )  
  • Ext R n ( A , β B β ) β Ext R n ( A , B β )  
  • Ext Z n ( A , B ) = 0   при n ≥ 2 для абелевых групп A и B.
  • Ext Z 1 ( Z / p , B ) = B / p B   для абелевой группы B. Это может быть использовано для вычисления Ext Z 1 ( A , B )   для любой конечно порождённой абелевой группы A.
  • Пусть A — конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом R. Тогда для любого мультипликативно замкнутого подмножества S, любого модуля B и любого n, S 1 Ext R n ( A , B ) Ext S 1 R n ( S 1 A , S 1 B )  .
  • Если R коммутативно и нётерово, и A — конечно порождённый R-модуль, то следующие утверждения эквивалентны для любого модуля B и любого n:
    • Ext R n ( A , B ) = 0.  
    • Для каждого простого идеала p   кольца R, Ext R p n ( A p , B p ) = 0  .
    • Для каждого максимального идеала m   кольца R, Ext R m n ( A m , B m ) = 0  .

Литература править