Расслоённое произведение

Расслоённое произведение (послойное произведение, коамальгама, декартов квадрат, англ. pullback) — теоретико-категорное понятие, определяемое как предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов: $X\to <!--\; \to \; -->Z\leftarrow <!--\; \leftarrow \; -->Y.$$X\to Z\leftarrow Y.$ Расслоённое произведение часто обозначают как $X{\times <!--\; \times \; -->}_{Z}Y.$$X\times _{Z}Y.$

Двойственное понятие — кодекартов квадрат.

Универсальное свойствоПравить

Пусть в категории $C$$C$  дана пара морфизмов $f:X\to <!--\; \to \; -->Z$$f:X\to Z$  и $g:Y\to <!--\; \to \; -->Z.$$g:Y\to Z.$  Расслоённое произведение $X$$X$  и $Y$$Y$  над $Z$$Z$  — это объект $P=X{\times <!--\; \times \; -->}_{Z}Y$$P=X\times _{Z}Y$  вместе с морфизмами $p_1,p_2,$$p_{1},p_{2},$  для которых следующая диаграмма коммутативна:

 

Более того, расслоённое произведение должно быть универсальным объектом с таким свойством: для любого объекта $Q,$$Q,$  с парой морфизмов $q_1:Q\to <!--\; \to \; -->X,q_2:Q\to <!--\; \to \; -->Y,$$q_{1}:Q\to X,\,q_{2}:Q\to Y,$  дополняющих пару $(f,g)$$(f,g)$  до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм $u:<!--\; :\; -->Q\to <!--\; \to \; -->P,$$u\colon Q\to P,$  такой что нижеприведённая диаграмма коммутативна:

 

Внутренний квадрат этой диаграммы, образованный морфизмами $f,g,p_1,p_2$$f,g,p_{1},p_{2}$  называется декартовым (или коуниверсальным) квадратом для пары морфизмов $f$$f$  и $g.$$g.$ 

Как и другие объекты, определённые с помощью универсального свойства, расслоённое произведение не обязательно существует, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма.

ПримерыПравить

В категории множеств расслоённое произведение множеств $X$$X$  и $Y$$Y$  с отображениями $f:X\to <!--\; \to \; -->Z$$f:X\to Z$  и $g:Y\to <!--\; \to \; -->Z$$g:Y\to Z$  — это множество

$X{\times <!--\; \times \; -->}_{Z}Y=\{(x,y)\in <!--\; \in \; -->X\times <!--\; \times \; -->Y|f(x)=g(y)\}$$X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}$ 

вместе с естественными проекциями на компоненты.

Аналогичным образом определяется расслоённое произведение в категории коммутативных колец.

Также расслоённое произведение в $\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}$${\mathbf {Set}}$  можно описывать двумя асимметричными способами:

$X{\times <!--\; \times \; -->}_{Z}Y$$X\times _{Z}Y$ 

$\cong <!--\; \cong \; -->\underset{x\in <!--\; \in \; -->X}{\coprod <!--\; \coprod \; -->}{g}^{-<!--\; -\; -->1}[\{f(x)\}]$$\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]$ 

$\cong <!--\; \cong \; -->\underset{y\in <!--\; \in \; -->Y}{\coprod <!--\; \coprod \; -->}{f}^{-<!--\; -\; -->1}[\{g(y)\}],$$\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}],$ 

где $\coprod <!--\; \coprod \; -->$$\coprod$  — дизъюнктное объединение множеств.

См. такжеПравить

• Индуцированное расслоение

ЛитератураПравить

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
• Городенцев А. Л. Алгебра для студентов-математиков. Часть II. — М., 2015. — С. 160.
• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Фейс К. Алгебра — кольца, модули и категории, том 1. — М.: Мир — том 190 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1973].
• Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstract and Concrete Categories. The Joy of Cats. — Willey & Sons, 1990. — P. 524. — ISBN 0-471-60922-6.