CUSUM-тест

CUSUM-тест (сокр. от англ. CUmulative SUM — «кумулятивная сумма») — применяемый в эконометрике статистический тест для проверки стабильности параметров модели на всей выборке. Тест основан на так называемых рекурсивных остатках.

Тест предложен Брауном, Дарбином и Эвансом в 1975 году.

Рекурсивные остаткиПравить

Данный тест использует так называемые рекурсивные остатки, которые получаются при использовании рекурсивного метода наименьших квадратов. Уже изучение самих рекурсивных остатков позволяет делать выводы о стабильности параметров модели, так как математическое ожидание их при стабильности модели равно нулю, а стандартное отклонение — стандартной ошибке модели.

Сущность и процедура тестаПравить

Статистика теста определяется следующим образом:

$CUSU{M}_t=\underset{r=k+1}{\overset{t}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{w}_r/s,t=k+1,...,n$$CUSUM_{t}={\sum _{r=k+1}^{t}w_{r}}/{s}~,~~t=k+1,...,n$ 

где $k$$k$  — количество параметров модели, $s$$s$  — стандартная ошибка модели.

Если параметры модели стабильны, то математическое ожидание этой величины равно нулю для всех $t$$t$ . Соответственно, можно построить доверительные границы в виде ограничивающих линий на графике. Для 5%-го уровня значимости доверительные границы получаются путём соединения двух точек:

$k\pm <!--\; \pm \; -->0.948\sqrt{n-<!--\; -\; -->k},n\pm <!--\; \pm \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->0.948\sqrt{n-<!--\; -\; -->k}$$k\pm 0.948{\sqrt {n-k}}~,~n\pm 3\cdot 0.948{\sqrt {n-k}}$ 

Если график статистики выходит за пределы линий, то параметры модели, вероятно, являются нестабильными — необходимо либо изменить модель, либо разделить выборку на однородные подвыборки.

Квадратический CUSUM (CUSUM-SQ)Править

Кроме теста кумулятивных рекурсивных остатков, используется также тест, основанный на кумулятивной сумме квадратов рекурсивных остатков, статистика которого имеет вид:

$CUSUMS{Q}_t=\underset{r=k+1}{\overset{t}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{w}_r^2/\underset{r=k+1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{w}_r^2$$CUSUMSQ_{t}={\sum _{r=k+1}^{t}w_{r}^{2}}~/{\sum _{r=k+1}^{n}w_{r}^{2}}$ 

Математическое ожидание этой статистики равно $\frac{t-<!--\; -\; -->k}{n-<!--\; -\; -->k}$${\frac {t-k}{n-k}}$ . Доверительные границы строятся на основе специальных таблиц критических значений.

См. такжеПравить

• Тест Чоу
• Рекурсивный МНК
• RESET-тест Рамсея

ЛитератураПравить

• Michèle Basseville and Igor V. Nikiforov. Detection of Abrupt Changes: Theory and Application (англ.). — Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1993. — ISBN 0-13-126780-9.
• Mishra, S., Vanli, O. A., & Park, C (2015). "A Multivariate Cumulative Sum Method for Continuous Damage Monitoring with Lamb-wave Sensors" Архивная копия от 12 апреля 2018 на Wayback Machine, International Journal of Prognostics and Health Management, Шаблон:Issn