Тест Чоу

Тест Чоу (Чжоу, англ. Chow test) — применяемая в эконометрике процедура проверки стабильности параметров регрессионной модели, наличия структурных сдвигов в выборке. Фактически тест проверяет неоднородность выборки в контексте регрессионной модели.

Истинные значения параметров модели могут теоретически различаться для разных выборок, так как выборки могут быть неоднородны. В частности, при анализе временных рядов может иметь место так называемый структурный сдвиг, когда со временем изменились фундаментальные характеристики изучаемой системы. Это означает, что модель до этого сдвига и модель после сдвига вообще говоря разные. Например, экономика в 1998—1999 году и в 2008—2009 годах претерпевала структурные изменения в связи с кризисными явлениями, поэтому параметры макроэкономических моделей могут быть разными, до и после этих моментов.

Тест Чоу на структурное изменениеПравить

Пусть дана выборка $S$$S$  объёмом $n$$n$ , которая разбита на две подвыборки $S_1,S_2$$S_{1},~S_{2}$ , с объёмами $n_1,n_2$$n_{1},~n_{2}$  соответственно: $n=n_1+n_2$$n=n_{1}+n_{2}$ . Для временных рядов это означает обычно, что определён момент времени, подозреваемый на «структурный сдвиг», соответственно временные ряды разбиваются на ряды до этого момента и после.

Пусть рассматривается регрессионная модель $y_t=x_t^{T}b+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$y_{t}=x_{t}^{T}b+\varepsilon _{t}$ , где $b$$b$  — параметры модели (их количество — $k$$k$ ). Предполагается, что подвыборки могут быть неоднородными. Таким образом, для двух подвыборок имеются две модели:

$\{\begin{array}{l}{y}_t=x_t^T{b}_1+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t,t\in <!--\; \in \; -->S_1\\ y_t=x_t^T{b}_2+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t,t\in <!--\; \in \; -->S_2\end{array}$${\begin{cases}y_{t}=x_{t}^{T}b_{1}+\varepsilon _{t}~,~t\in S_{1}\\y_{t}=x_{t}^{T}b_{2}+\varepsilon _{t}~,~t\in S_{2}\end{cases}}$ 

Эти две модели можно представить одной моделью, если использовать индикатор подвыборки $d$$d$ :

$d_t=\{\begin{array}{l}1,t\in <!--\; \in \; -->S_1\\ 0,t\in <!--\; \in \; -->S_2\end{array}$$d_{t}={\begin{cases}1~,~t\in S_{1}\\0~,~t\in S_{2}\end{cases}}$ 

Используя эту переменную формулируется следующая модель:

$y_t=x_t^T(d_t{b}_1+(1-<!--\; -\; -->d_t)b_2)+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t=d_t{x}_t^T{b}_1+(1-<!--\; -\; -->d_t)x_t^T{b}_2+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t=z_1^T{b}_1+z_2^T{b}_2+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$y_{t}=x_{t}^{T}(d_{t}b_{1}+(1-d_{t})b_{2})+\varepsilon _{t}=d_{t}x_{t}^{T}b_{1}+(1-d_{t})x_{t}^{T}b_{2}+\varepsilon _{t}=z_{1}^{T}b_{1}+z_{2}^{T}b_{2}+\varepsilon _{t}$  —

«длинная модель» без ограничений для всей выборки с количеством параметров $2k$$2k$ . Если в этой модели наложить ограничение $H_0:b_1=b_2$$H_{0}:~b_{1}=b_{2}$ , то получается исходная модель $y_t=x_t^{T}b+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$y_{t}=x_{t}^{T}b+\varepsilon _{t}$  с $k$$k$  параметрами также для всей выборки. Это — «короткая модель» — модель с линейными ограничениями на параметры длинной модели.

Тогда процедуру теста можно свести к проверке этого линейного ограничения. При нормально распределённых случайных ошибках применяется стандартный F-тест для проверки $k$$k$  линейных ограничений. Статистика этого теста строится по известному принципу:

$F=\frac{(RS{S}_S-<!--\; -\; -->RS{S}_L)/k}{RS{S}_L/(n-<!--\; -\; -->k_L)}=\frac{(RSS-<!--\; -\; -->RS{S}_1-<!--\; -\; -->RS{S}_2)/k}{(RS{S}_1+RS{S}_2)/(n-<!--\; -\; -->2k)}\sim <!--\; \sim \; -->F(k,n-<!--\; -\; -->2k)$$F={\frac {(RSS_{S}-RSS_{L})/k}{RSS_{L}/(n-k_{L})}}={\frac {(RSS-RSS_{1}-RSS_{2})/k}{(RSS_{1}+RSS_{2})/(n-2k)}}~\sim ~F(k,n-2k)$ 

Соответственно, если значение этой статистики больше критического при данном уровне значимости, то гипотеза об ограничениях отвергается в пользу длинной модели, то есть выборки признаются неоднородными и необходимо строить две разные модели для выборок. В противном случае выборка однородна (параметры модели стабильны) и можно строить общую модель для выборки.

Кроме F-теста можно применять и другие тесты для проверки гипотезы об ограничениях, в частности LR-тест. Особенно это касается более общего случая, когда выделяются не две подвыборки, а несколько. Если количество подвыборок равно $m$$m$ , то соответствующая LR-статистика будет иметь распределение ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2((m-<!--\; -\; -->1)k)$$\chi ^{2}((m-1)k)$ .

ЗамечаниеПравить

В тесте предполагается, что разными в выборках могут быть только параметры линейной модели, но не параметры распределения случайной ошибки. В частности, предполагается одинаковая дисперсия случайной ошибки в обоих подвыборках. В общем случае, однако, это может быть не так. В этом случае применяют тест Вальда со статистикой:

$W=({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_1-<!--\; -\; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_2{)}^T({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}}_1+{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}}_2{)}^{-<!--\; -\; -->1}({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_1-<!--\; -\; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_2)\stackrel{d}{\to }{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(k)$$W=({\hat {b}}_{1}-{\hat {b}}_{2})^{T}({\hat {V}}_{1}+{\hat {V}}_{2})^{-1}({\hat {b}}_{1}-{\hat {b}}_{2}){\xrightarrow {d}}\chi ^{2}(k)$ ,

где ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_1,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}}_1,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_2,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}}_2$${\hat {b}}_{1},{\hat {V}}_{1},{\hat {b}}_{2},{\hat {V}}_{2}$  — оценки параметров и оценки их ковариационной матрицы в первой и второй подвыборках соответственно.

Тест Чоу на предсказаниеПравить

Здесь применяется несколько иной подход. Строится модель для одной из подвыборок и на основе построенной модели прогнозируется зависимая переменная для второй подвыборки. Чем больше различия между предсказанными и фактическими значениями объясняемой переменной во второй выборке, тем больше разница между подвыборками. Соответстувующая F-статистика равна:

$F=\frac{(RSS-<!--\; -\; -->RS{S}_1)/n_2}{RS{S}_1/(n_1-<!--\; -\; -->k)}\sim <!--\; \sim \; -->F(n_2,n_1-<!--\; -\; -->k)$$F={\frac {(RSS-RSS_{1})/n_{2}}{RSS_{1}/(n_{1}-k)}}~\sim ~F(n_{2},n_{1}-k)$ .

В данном случае также можно использовать LR-статистику с асимптотическим распределением ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(n_2)$$\chi ^{2}(n_{2})$ .

См. такжеПравить

• CUSUM-тест

ЛитератураПравить

• Chow, Gregory C. Tests of Equality Between Sets of Coefficients in Two Linear Regressions (англ.). — 1960. — Vol. 28. — P. 591—605. — doi:10.2307/1910133.
• Doran, Howard E. Applied Regression Analysis in Econometrics (англ.). — CRC Press, 1989. — P. 146. — ISBN 0-8247-8049-3.
• Dougherty, Christopher. Introduction to Econometrics (англ.). — Oxford University Press, 2007. — P. 194. — ISBN 0-19-928096-7.
• Kmenta, Jan  (англ.) (рус.. Elements of Econometrics (неопр.). — Second. — New York: Macmillan, 1986. — С. 412—423. — ISBN 0-472-10886-7.
• Wooldridge, Jeffrey M.  (англ.) (рус.. Introduction to Econometrics: A Modern Approach (англ.). — Fourth. — Mason: South-Western, 2009. — P. 243—246. — ISBN 978-0-324-66054-8.