Символы Шёнфлиса

Символы Шёнфлиса — одно из обозначений точечных групп симметрии, наряду с символами Германа — Могена. Предложены немецким математиком Артуром Шёнфлисом в книге «Kristallsysteme und Kristallstruktur» в 1891.^[1] Могут также использоваться для обозначения пространственных групп (трёхмерной кристаллографической группы).

Обозначение точечных групп Править

При точечной симметрии хотя бы одна точка сохраняет своё положение. Точечные группы симметрии в трёхмерном пространстве можно разделить на несколько семейств. В символах Шёнфлиса они описываются следующим образом:

С_n, циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.

C_nv (от нем. vertical — вертикальный) — группы с n вертикальными плоскостями симметрии, расположенными вдоль оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
C_nh (от нем. horisontal — горизонтальный) — группы c горизонтальной плоскостью симметрии, перпендикулярной к оси симметрии.

S_2n (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии. Индекс оси всегда чётный, так как при нечётном индексе зеркальная ось является просто комбинацией оси симметрии и перпендикулярной к ней плоскости, то есть S_n = C_nh для нечётного n.

C_s — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.

С_ni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i. Как правило, используется только С_i (для n = 1), но иногда в литературе встречаются обозначения типа С_3i, С_5i.
D_n — является группой С_n с дополнительными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной (главной) оси.

D_nh — также имеет горизонтальную и n вертикальных плоскостей симметрии.
D_nd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет n вертикальных плоскостей симметрии, идущих по диагонали между горизонтальными осями второго порядка.

Группа D₂ иногда раньше обозначалась как V (от нем. Vierergruppe — четверная группа), а группы D_2h и D_2d как V_h и V_d, соответственно.

T, O, I — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка (порядок оси n больше или равен 3). Добавление индекса h указывает на наличие горизонтальной плоскости и, как следствие, вертикальных плоскостей симметрии и центра инверсии. Добавление индекса d к группе T указывает на наличие диагональных плоскостей симметрии. Отличие группы T_d от T_h в том, что первая не содержит центра инверсии, а вторая содержит, зато T_d содержит три инверсионных оси четвёртого порядка, в то время как в T_h таких осей нет.

T, T_h, T_d - совокупность поворотных осей в тетраэдре (только поворотные оси 2-го и 3-го порядков).
O, O_h - совокупность поворотных осей в октаэдре или кубе (поворотные оси 2-го, 3-го и 4-го порядков).
I, I_h - совокупность поворотных осей в икосаэдре или додекаэдре (поворотные оси 2-го, 3-го и 5-го порядков).

Иногда икосаэдрические группы I и I_h обозначаются как Y и Y_h.

Группы, в которых не более одной оси высшего порядка, можно расположить в следующей таблице

n	1	2	3	4	5	6	7	8	...	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\infty$
C_n	C₁	C₂	C₃	C₄	C₅	C₆	C₇	C₈	…	C_∞
C_nv	C_1v = C_s	C_2v	C_3v	C_4v	C_5v	C_6v	C_7v	C_8v	…	C_∞v
C_nh	C_1h = C_s	C_2h	C_3h	C_4h	C_5h	C_6h	C_7h	C_8h	…	C_∞h
S_n	S₁ = C_s	S₂ = C_i	S₃ = C_3h	S₄	S₅ = C_5h	S₆	S₇ = C_7h	S₈	…	S_∞ = C_∞h
C_ni	C_1i = C_i	C_2i = C_s	C_3i = S₆	C_4i = S₄	C_5i = S₁₀	C_6i = C_3h	C_7i = S₁₄	C_8i = S₈	…	C_∞i = C_∞h
D_n	D₁ = C₂	D₂ = V	D₃	D₄	D₅	D₆	D₇	D₈	…	D_∞
D_nh	D_1h = C_2v	D_2h = V_h	D_3h	D_4h	D_5h	D_6h	D_7h	D_8h	...	D_∞h
D_nd	D_1d = C_2h	D_2d = V_d	D_3d	D_4d	D_5d	D_6d	D_7d	D_8d	…	D_∞d = D_∞h

Бордовым цветом отмечены не употребляемые варианты обозначений групп.

В кристаллографии из-за наличия трансляционной симметрии кристаллической структуры n может принимать только значения 1, 2, 3, 4 и 6. Некристаллографические точечные группы даны на сером фоне. D_4d и D_6d также являются некристаллографическими, так как содержат зеркальные оси порядка 8 и 12, соответственно. 27 кристаллографических точечных групп из таблицы и пять групп T, T_d, T_h, O и O_h составляют все 32 кристаллографические точечные группы симметрии.

Группы с $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=\infty$ называются предельными группами^[2] или группами Кюри. К ним относятся ещё две группы, не представленные в таблице. Это группа всех возможных вращений вокруг всех осей проходящих через точку, K (от нем. Kugel — шар) — группа вращений, а также группа K_h, которая описывает симметрию шара — максимально возможную точечную симметрию в трёхмерном пространстве; все точечные группы являются подгруппами группы K_h. Иногда эти группы обозначаются также R(3) (от англ. rotation — вращение) и R_h(3). В математике и теоретической физике их обычно обозначают как SO(3) и O(3) (специальная ортогональная группа в трёхмерном пространстве и ортогональная группа в трёхмерном пространстве).

Обозначение пространственных групп Править

Если в пространственной группе убрать трансляционные компоненты (то есть убрать трансляции и заменить винтовые оси на обычные оси, а плоскости скользящего отражения на зеркальные плоскости), то получится соответствующая пространственной группе точечная группа — одна из 32-х кристаллографических точечных групп. Символ Шёнфлиса пространственной группы образуется из символа соответствующей точечной группы с дополнительным верхним цифровым индексом, так как обычно одной точечной группе соответствует сразу несколько пространственных групп (максимум — 28 пространственных групп для группы D_2h). При этом индекс не даёт никакой дополнительной информации об элементах симметрии группы, а просто связан с тем, в какой последовательности Шёнфлис выводил 230 пространственных групп. Таким образом, символ Шёнфлиса для пространственной группы не только ничего не говорит об ориентации элементов симметрии по отношению к осям ячейки, но даже не даёт информации о центрировке ячейки и трансляционной составляющей осей и плоскостей симметрии. Чтобы получить полную информацию о пространственной группе из символа Шёнфлиса, надо пользоваться таблицей, в которой сопоставлены эти символы символам Германа-Могена. Например, такая таблица дана в списке пространственных групп или здесь.

См. также Править

Внешние ссылки Править

Литература Править

Ю. Г. Загальская, Г. П. Литвинская, Геометрическая кристаллография, МГУ, 1973
Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, МГУ, 1992
Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000 (доступно on-line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834)
П. М. Зоркий. Симметрия молекул и кристаллических структур, МГУ, 1986 (доступно on-line http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html)
Р. Фларри, Группы симметрии. Теория и химические приложения, М.: Мир, 1983
И. Харгитаи, Симметрия глазами химика. - М.: Мир, 1991 (страница 99)

Примечания Править

↑ Arthur Moritz Schönflies, «Krystallsysteme und Krystallstructur», Druck und Verlag von B. G. Teubner, 1891 (неопр.). Дата обращения: 3 октября 2017. Архивировано 24 июля 2017 года.
↑ Предельные точечные группы (неопр.). Дата обращения: 18 ноября 2011. Архивировано 23 февраля 2008 года.

.

[1] Arthur Moritz Schönflies, «Krystallsysteme und Krystallstructur», Druck und Verlag von B. G. Teubner, 1891 (неопр.). Дата обращения: 3 октября 2017. Архивировано 24 июля 2017 года.

[2] Предельные точечные группы (неопр.). Дата обращения: 18 ноября 2011. Архивировано 23 февраля 2008 года.

[1]

[2]