Список кристаллографических групп

Кристаллографические группы, или фёдоровские группы — набор групп симметрий, которые описывают все возможные симметрии бесконечного количества периодически расположенных точек в трёхмерном пространстве. Эта классификация симметрий была сделана независимо и почти одновременно русским математиком Фёдоровым и немецким математиком Шёнфлисом. Полученные сведения играют большую роль в кристаллографии.

Легенда к спискуПравить

Символ Германа — МогенаПравить

Основная статья: Символика Германа — Могена

Символ пространственной группы содержит символ решётки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. При этом символы осей и плоскостей симметрии в символе могут изменяться на символы винтовых осей и скользящих плоскостей в соответствии с их наличием в данном конкретном кристаллическом пространстве. Символы решётки Браве передают её тип центрировки:

• P — примитивная;
• I — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки);
• F — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).
• С, А или В — базоцентрированная (дополнительный узел в центре грани C, A или B). Решётки типов A и B называют также бокоцентрированными;
• R — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали ячейки).

КлассыПравить

Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) приняты следующие обозначения (здесь буква n заменяет натуральное число, а буква m обозначает именно саму букву m):

• $n$$n$  — ось симметрии n-го порядка.
• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}$$\bar{n}$  — инверсионная ось симметрии n-го порядка.
• $m$$m$  — плоскость симметрии.
• $nm$$nm$  или $nmm$$nmm$  — ось симметрии n-го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё.
• $\frac{n}{m}$${\frac {n}{m}}$  — ось симметрии порядка n и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная.
• $n2$$n2$  — ось симметрии порядка n и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
• $n/mmm$$n/mmm$  — ось симметрии n-го порядка и плоскости параллельные и перпендикулярные к ней.
• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}m2$${\bar {n}}m2$  или $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}2m$${\bar {n}}2m$  (n — чётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, $\frac{n}{2}$${\tfrac {n}{2}}$  плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и $\frac{n}{2}$${\tfrac {n}{2}}$  осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}m$${\bar {n}}m$  (n — нечётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.

Символ ШёнфлисаПравить

Основная статья: Символы Шёнфлиса

• С_n — циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.

• С_ni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i.
• C_nv (от нем. vertikal — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
• C_nh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.

• S₂, S₄, S₆ (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии.

• C_s — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.

• D_n — является группой С_n с добавочными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной оси.

• D_nh — также имеет горизонтальную плоскость симметрии.
• D_nd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.

• O, T — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии. Обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии октаэдра, или буквой Т, если они содержат полный набор осей симметрии тетраэдра.

• O_h и T_h — также содержат горизонтальную плоскость симметрии
• T_d — также содержат диагональную плоскость симметрии

n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.

Список всех 230 группПравить

Номер	Класс	Число групп	Символ Германа-Могена	Символ Шёнфлиса	Изображение
Триклинная система
1	$1$$1$	1	$P1$$P1$	$C_1$$C_{1}$
2	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1}$${\bar {1}}$	1	$P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1}$$P{\bar {1}}$	$C_i$$C_{i}$
Моноклинная система
3-5	$2$$2$	3	$P2$$P2$  $P{2}_1$$P2_{1}$  $C2$$C2$	$C_2$$C_{2}$	Внешне человек обладает $C_s$$C_{s}$  симметрией.
6-9	$m$$m$	4	$Pm$$Pm$  $Pc$$Pc$  $Cm$$Cm$  $Cc$$Cc$	$C_s$$C_{s}$
10-15	$2/m$$2/m$	6	$P2/m$$P2/m$  $P{2}_1/m$$P2_{1}/m$  $C2/m$$C2/m$  $P2/c$$P2/c$  $P{2}_1/c$$P2_{1}/c$  $C2/c$$C2/c$	$C_{2h}$$C_{2h}$
Ромбическая система
16-24	$222$$222$	9	$P222$$P222$  $P{222}_1$$P222_{1}$  $P{2}_1{2}_{1}2$$P2_{1}2_{1}2$  $P{2}_1{2}_1{2}_1$$P2_{1}2_{1}2_{1}$  $C{222}_1$$C222_{1}$  $C222$$C222$  $F222$$F222$  $I222$$I222$  $I{2}_1{2}_1{2}_1$$I2_{1}2_{1}2_{1}$	$D_2$$D_{2}$	Рельсы обладают $C_{2v}$$C_{{2v}}$  симметрией.
25 - 46	$mm2$$mm2$	22	$Pmm2$$Pmm2$  $Pmc{2}_1$$Pmc2_{1}$  $Pcc2$$Pcc2$  $Pma2$$Pma2$  $Pca{2}_1$$Pca2_{1}$  $Pnc2$$Pnc2$  $Pmn{2}_1$$Pmn2_{1}$  $Pba2$$Pba2$  $Pna{2}_1$$Pna2_{1}$  $Pnn2$$Pnn2$  $Cmm2$$Cmm2$  $Cmc{2}_1$$Cmc2_{1}$  $Ccc2$$Ccc2$  $Amm2$$Amm2$  $Aem2$$Aem2$  $Ama2$$Ama2$  $Aea2$$Aea2$  $Fmm2$$Fmm2$  $Fdd2$$Fdd2$  $Imm2$$Imm2$  $Iba2$$Iba2$  $Ima2$$Ima2$	$C_{2v}$$C_{{2v}}$
47-74	$mmm$$mmm$	28	$Pmmm$$Pmmm$  $Pnnn$$Pnnn$  $Pccm$$Pccm$  $Pban$$Pban$  $Pmma$$Pmma$  $Pnna$$Pnna$  $Pmna$$Pmna$  $Pcca$$Pcca$  $Pbam$$Pbam$  $Pccn$$Pccn$  $Pbcm$$Pbcm$  $Pnnm$$Pnnm$  $Pmmn$$Pmmn$  $Pbcn$$Pbcn$  $Pbca$$Pbca$  $Pnma$$Pnma$  $Cmcm$$Cmcm$  $Cmce$$Cmce$  $Cmmm$$Cmmm$  $Cccm$$Cccm$  $Cmme$$Cmme$  $Ccce$$Ccce$  $Fmmm$$Fmmm$  $Fddd$$Fddd$  $Immm$$Immm$  $Ibam$$Ibam$  $Ibca$$Ibca$  $Imma$$Imma$	$D_{2h}$$D_{2h}$
Тетрагональная система
75-80	$4$$4$	6	$P4$$P4$  $P{4}_1$$P4_{1}$  $P{4}_2$$P4_{2}$  $P{4}_3$$P4_{3}$  $I4$$I4$  $I{4}_1$$I4_{1}$	$C_4$$C_{4}$	$C_4$$C_{4}$  Симметрия.
81-82	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}$${\bar {4}}$	2	$P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}$$P{\bar {4}}$  $I\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}$$I{\bar {4}}$	$S_4$$S_{4}$
83-88	$4/m$$4/m$	6	$P4/m$$P4/m$  $P{4}_2/m$$P4_{2}/m$  $P4/n$$P4/n$  $P{4}_2/n$$P4_{2}/n$  $I4/m$$I4/m$  $I{4}_1/a$$I4_{1}/a$	$C_{4h}$$C_{4h}$
89-98	$422$$422$	10	$P422$$P422$  $P{42}_{1}2$$P42_{1}2$  $P{4}_{1}22$$P4_{1}22$  $P{4}_1{2}_{1}2$$P4_{1}2_{1}2$  $P{4}_{2}22$$P4_{2}22$  $P{4}_2{2}_{1}2$$P4_{2}2_{1}2$  $P{4}_{3}22$$P4_{3}22$  $P{4}_3{2}_{1}2$$P4_{3}2_{1}2$  $I422$$I422$  $I{4}_{1}22$$I4_{1}22$	$D_4$$D_{4}$
99-110	$4mm$$4mm$	12	$P4mm$$P4mm$  $P4bm$$P4bm$  $P{4}_{2}cm$$P4_{2}cm$  $P{4}_{2}nm$$P4_{2}nm$  $P4cc$$P4cc$  $P4nc$$P4nc$  $P{4}_{2}mc$$P4_{2}mc$  $P{4}_{2}bc$$P4_{2}bc$  $I4mm$$I4mm$  $I4cm$$I4cm$  $I{4}_{1}md$$I4_{1}md$  $I{4}_{1}cd$$I4_{1}cd$	$C_{4v}$$C_{4v}$
111-122	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}2m$${\bar {4}}2m$	12	$P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}2m$$P{\bar {4}}2m$  $P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}2c$$P{\bar {4}}2c$  $P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}{2}_{1}m$$P{\bar {4}}2_{1}m$  $P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}{2}_{1}c$$P{\bar {4}}2_{1}c$  $P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}m2$$P{\bar {4}}m2$  $P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}c2$$P{\bar {4}}c2$  $P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}b2$$P{\bar {4}}b2$  $P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}n2$$P{\bar {4}}n2$  $I\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}m2$$I{\bar {4}}m2$  $I\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}c2$$I{\bar {4}}c2$  $I\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}2m$$I{\bar {4}}2m$  $I\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}2d$$I{\bar {4}}2d$	$D_{2d}$$D_{2d}$
123-142	$4/mmm$$4/mmm$	20	$P4/mmm$$P4/mmm$  $P4/mcc$$P4/mcc$  $P4/nbm$$P4/nbm$  $P4/nnc$$P4/nnc$  $P4/mbm$$P4/mbm$  $P4/mnc$$P4/mnc$  $P4/nmm$$P4/nmm$  $P4/ncc$$P4/ncc$  $P{4}_2/mmc$$P4_{2}/mmc$  $P{4}_2/mcm$$P4_{2}/mcm$  $P{4}_2/nbc$$P4_{2}/nbc$  $P{4}_2/nnm$$P4_{2}/nnm$  $P{4}_2/mbc$$P4_{2}/mbc$  $P{4}_2/mnm$$P4_{2}/mnm$  $P{4}_2/nmc$$P4_{2}/nmc$  $P{4}_2/ncm$$P4_{2}/ncm$  $I4/mmm$$I4/mmm$  $I4/mcm$$I4/mcm$  $I{4}_1/amd$$I4_{1}/amd$  $I{4}_1/acd$$I4_{1}/acd$	$D_{4h}$$D_{4h}$	Кристаллическая решётка циркона имеет $I{4}_1/amd$$I4_{1}/amd$  симметрию.
Тригональная система
143-146	$3$$3$	4	$P3$$P3$  $P{3}_1$$P3_{1}$  $P{3}_2$$P3_{2}$  $R3$$R3$	$C_3$$C_{{3}}$	Молекула боразана обладает $C_{3v}$$C_{3v}$  симметрией.
147-148	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}$${\bar {3}}$	2	$P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}$$P{\bar {3}}$  $R\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}$$R{\bar {3}}$	$C_{3i}$$C_{3i}$
149-155	$32$$32$	7	$P312$$P312$  $P321$$P321$  $P{3}_{1}12$$P3_{1}12$  $P{3}_{1}21$$P3_{1}21$  $P{3}_{2}12$$P3_{2}12$  $P{3}_{2}21$$P3_{2}21$  $R32$$R32$	$D_3$$D_{3}$
156-161	$3m$$3m$	6	$P3m1$$P3m1$  $P31m$$P31m$  $P3c1$$P3c1$  $P31c$$P31c$  $R3m$$R3m$  $R3c$$R3c$	$C_{3v}$$C_{3v}$
162-167	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}m$${\bar {3}}m$	6	$P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}1m$$P{\bar {3}}1m$  $P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}1c$$P{\bar {3}}1c$  $P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}m1$$P{\bar {3}}m1$  $P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}c1$$P{\bar {3}}c1$  $R\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}m$$R{\bar {3}}m$  $R\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}c$$R{\bar {3}}c$	$D_{3d}$$D_{3d}$
Гексагональная система
168-173	$6$$6$	6	$P6$$P6$  $P{6}_1$$P6_{1}$  $P{6}_5$$P6_{5}$  $P{6}_2$$P6_{2}$  $P{6}_4$$P6_{4}$  $P{6}_3$$P6_{3}$	$C_6$$C_{6}$	Пчелиные соты обладают $C_{6h}$$C_{{6h}}$  симметрией.
174	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{6}$${\bar {6}}$	1	$P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{6}$$P{\bar {6}}$	$C_{3h}$$C_{3h}$
175-176	$6/m$$6/m$	2	$P6/m$$P6/m$  $P{6}_3/m$$P6_{3}/m$	$C_{6h}$$C_{{6h}}$
177-182	$622$$622$	6	$P622$$P622$  $P{6}_{1}22$$P6_{1}22$  $P{6}_{5}22$$P6_{5}22$  $P{6}_{2}22$$P6_{2}22$  $P{6}_{4}22$$P6_{4}22$  $P{6}_{3}22$$P6_{3}22$	$D_6$$D_{6}$	Нанотрубка может обладать $D_{6h}$$D_{6h}$  симметрией.
183-186	$6mm$$6mm$	4	$P6mm$$P6mm$  $P6cc$$P6cc$  $P{6}_{3}cm$$P6_{3}cm$  $P{6}_{3}mc$$P6_{3}mc$	$C_{6v}$$C_{6v}$
187-190	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{6}m2$${\bar {6}}m2$	4	$P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{6}m2$$P{\bar {6}}m2$  $P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{6}c2$$P{\bar {6}}c2$  $P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{6}2m$$P{\bar {6}}2m$  $P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{6}2c$$P{\bar {6}}2c$	$D_{3h}$$D_{3h}$
191-194	$6/mmm$$6/mmm$	4	$P6/mmm$$P6/mmm$  $P6/mcc$$P6/mcc$  $P{6}_3/mcm$$P6_{3}/mcm$  $P{6}_3/mmc$$P6_{3}/mmc$	$D_{6h}$$D_{6h}$
Кубическая система
195-199	$23$$23$	5	$P23$$P23$  $F23$$F23$  $I23$$I23$  $P{2}_{1}3$$P2_{1}3$  $I{2}_{1}3$$I2_{1}3$	$T$$T$	Структура алмаза имеет $Fd\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}m$$Fd{\bar {3}}m$  симметрию.
200-206	$m\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}$$m{\bar {3}}$	7	$Pm\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}$$Pm{\bar {3}}$  $Pn\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}$$Pn{\bar {3}}$  $Fm\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}$$Fm{\bar {3}}$  $Fd\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}$$Fd{\bar {3}}$  $Im\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}$$Im{\bar {3}}$  $Pa\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}$$Pa{\bar {3}}$  $Ia\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}$$Ia{\bar {3}}$	$T_h$$T_{h}$
207-214	$432$$432$	8	$P432$$P432$  $P{4}_{2}32$$P4_{2}32$  $F432$$F432$  $F{4}_{1}32$$F4_{1}32$  $I432$$I432$  $P{4}_{3}32$$P4_{3}32$  $P{4}_{1}32$$P4_{1}32$  $I{4}_{1}32$$I4_{1}32$	$O$$O$
215-220	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}3m$${\bar {4}}3m$	6	$P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}3m$$P{\bar {4}}3m$  $F\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}3m$$F{\bar {4}}3m$  $I\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}3m$$I{\bar {4}}3m$  $P\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}3n$$P{\bar {4}}3n$  $F\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}3c$$F{\bar {4}}3c$  $I\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}3d$$I{\bar {4}}3d$	$T_d$$T_{d}$
221-230	$m\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}m$$m{\bar {3}}m$	10	$Pm\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}m$$Pm{\bar {3}}m$  $Pn\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}n$$Pn{\bar {3}}n$  $Pm\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}n$$Pm{\bar {3}}n$  $Pn\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}m$$Pn{\bar {3}}m$  $Fm\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}m$$Fm{\bar {3}}m$  $Fm\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}c$$Fm{\bar {3}}c$  $Fd\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}m$$Fd{\bar {3}}m$  $Fd\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}c$$Fd{\bar {3}}c$  $Im\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}m$$Im{\bar {3}}m$  $Ia\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}d$$Ia{\bar {3}}d$	$O_h$$O_{h}$

В других размерностяхПравить

У периодических структур в одномерном пространстве есть всего два типа симметрии. Они могут быть проиллюстрированы последовательностями символов:

... *- *- *- *- *- *- *- ...
... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| .. 

Первая бесконечная последовательность симметрична только относительно трансляции (на три символа), вторая последовательность симметрична ещё и относительно отражения.

В двумерном пространстве существует 17 типов симметрии периодических структур.

Количество групп симметрий произвольного n-мерного пространства описывается последовательностью A006227.

Последующая классификацияПравить

Группы можно разделить на симморфные и несимморфные. Симморфными называются такие симметрии, которые можно составить путём поворота вокруг осей, а также отражения от плоскостей, которые все проходят через одну точку. Симморфные пространственные группы содержат в качестве подгрупп точечные группы симметрии, отвечающие классу, к которому принадлежит данная пространственная группа.

Все 230 групп можно разделить на 32 класса. В каждом классе есть симметрия, оставляющая хотя бы одну точку пространства неподвижной. Количество элементов в классах колеблется от 1 до 28.

Классы можно разделить на системы (сингонии). Есть 7 сингоний. В каждой сингонии найдётся хотя бы одна предельная группа.

См. такжеПравить

• Кристаллографическая группа
• 11 классов Лауэ

ЛитератураПравить

• International Tables for Crystallography. Volume A: Space-group symmetry / Edited by M. I. Aroyo. — International Union of Crystallography, 2016. — ISBN 978-0-470-97423-0.

СсылкиПравить

• Пособие по пространственным группам
• Изображения всех 230 групп