4-тензор

4-тензоры, четырёхте́нзоры — класс математических объектов, используемый для описания некоторых физических полей в релятивистской физике, тензор, определённый на четырёхмерном пространстве-времени.

• Замечание: в литературе 4-тензоры часто называются просто тензорами, а размерность и природа векторного пространства (многообразия), на котором они заданы в этом случае оговариваются явно или очевидны из контекста.

В общем случае 4-тензор является объектом с набором индексов:

$A_{i_1{i}_2\dots <!--\; \dots \; -->i_n}^{j_1{j}_2\dots <!--\; \dots \; -->j_m},$$A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\ldots j_{m}},$

причём каждый из индексов принимает четыре значения (обычно от нуля до трёх или от одного до четырёх, то есть $i_1=0,1,2,3,i_2=0,1,2,3$$i_{1}=0,1,2,3,i_{2}=0,1,2,3$ итд.

При смене системы отсчёта компоненты этого объекта преобразуются так:

$A_{i_1{i}_2\dots <!--\; \dots \; -->i_n}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}{j}_1{j}_2\dots <!--\; \dots \; -->j_m}={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{j_1{k}_1}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{j_2{k}_2}\dots <!--\; \dots \; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{j_m{k}_m}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{i_1{l}_1}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{i_2{l}_2}\dots <!--\; \dots \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{i_n{l}_n}{A}_{l_1{l}_2\dots <!--\; \dots \; -->l_n}^{k_1{k}_2\dots <!--\; \dots \; -->k_m}$$A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{\prime j_{1}j_{2}\ldots j_{m}}=\beta _{j_{1}k_{1}}\beta _{j_{2}k_{2}}\ldots \beta _{j_{m}k_{m}}\alpha _{i_{1}l_{1}}\alpha _{i_{2}l_{2}}\ldots \alpha _{i_{n}l_{n}}A_{l_{1}l_{2}\ldots l_{n}}^{k_{1}k_{2}\ldots k_{m}}$,

где ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{ij}$$\alpha _{ij}$ — матрица поворота в четырёхмерном пространстве-времени (матрица группы Лоренца), а ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{ij}$$\beta _{ij}$ — обратная ей.

Верхние индексы называются контравариантными, а нижние — ковариантными. Суммарное число индексов задаёт ранг тензора. 4-вектор является 4-тензором первого ранга.

Обычно в физике тензоры одинаковой природы с разным числом ковариантных и контравариантных индексов считаются различными представлениями одного и того же объекта. Опускание или поднимание индекса проводится с помощью метрического тензора $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{g}$${\hat {g}}$, например для 4-тензора второго ранга

$A^{ij}=g^{jk}{A}_k^i$$A^{ij}=g^{jk}A_{k}^{i}$

Алгебра внешнего произведения позволяет также вводить для антисимметричных тензоров родственные им дуальные тензоры.

Преимущества четырёхмерной записиПравить

Уравнения теории относительности, электродинамики, и многих современных фундаментальных теорий, включающих их, особенно удобно записывать, используя 4-векторы и 4-тензоры. Главным преимуществом такой записи есть то, что в этой форме уравнения автоматически лоренц-инвариантны, то есть не изменяются при переходе от одной инерциальной системы координат к другой.

ПримерыПравить

4-тензоры в ОТОПравить

• метрический тензор (играет определённую техническую роль и в отсутствии гравитационных полей, то есть часто применяется и за рамками ОТО, однако в этом случае он - обычно - имеет очень частный вид лоренцевой метрики).
• тензор кривизны
• тензор Риччи
• тензор энергии-импульса (достаточно широко применим и вне ОТО).

4-тензор электромагнитного поляПравить

Основная статья: Тензор электромагнитного поля

Соответствующий 4-тензор существует также и для описания электромагнитного поля. Это 4-тензор второго ранга. При его использовании основные уравнения для электромагнитного поля: уравнение Максвелла и уравнение движения заряженной частицы в поле имеют особенно простую и элегантную форму.

Определение через 4-потенциалПравить

4-тензор определяется через производные от 4-потенциала:

$F_{ik}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{A}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^i}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{A}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^k}$$F_{ik}={\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}$ .

Определение через трёхмерные векторыПравить

4-тензор определяется через обычные трёхмерные составные векторов напряжённости следующим образом:

$F_{ik}=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)$ 

$F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)$ 

Первая форма — это ковариантный тензор, а вторая форма — это контравариантный тензор.

Сила ЛоренцаПравить

Записанное в 4-векторной форме уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле приобретает вид

$mc\frac{d{u}^i}{ds}=\frac{q}{c}{F}^{ik}{u}_k$$mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {q}{c}}F^{ik}u_{k}$ ,

где $u^k$$u^{k}$  — 4-скорость, q — электрический заряд частицы, c — скорость света, m — масса. Правая часть этого уравнения — это сила Лоренца.

См. такжеПравить

• 4-импульс
• 4-скорость
• 4-потенциал
• 4-ток
• Тензор электромагнитного поля
• Тензор энергии-импульса
• Тензор Эйнштейна
• Метрика пространства-времени

Внешние ссылкиПравить

• Глава 8 Релятивистская динамика 8.8. Свойства тензоров и момент импульса частицы  (неопр.) (недоступная ссылка — история). Дата обращения: 10 июня 2009. (недоступная ссылка)
• ЛЕКЦИЯ 20 Четырехмерные векторы и тензоры II ранга.  (неопр.). Научно-образовательный Центр ФТИ им.А.Ф.Иоффе (22 февраля 2002). Дата обращения: 10 июня 2009. Архивировано из оригинала 29 ноября 2004 года.