Метрика пространства-времени

Метрика пространства-времени — 4-тензор, который определяет свойства пространства-времени в общей теории относительности.

Схематическая двумерная иллюстрация искривления пространства-времени возле массивного тела

Как правило, обозначается символом $g_{ij}$$g_{{ij}}$.

В инерциальной системе отсчёта матрица метрического тензора пространства-времени имеет вид

${\hat {g}}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)$.

В неинерциальных системах отсчёта вид метрики пространства-времени изменяется и в общем зависит от точки пространства и момента времени.

Метрика пространства-времени задаёт искривление пространства, которое ощущает наблюдатель, который движется с ускорением. Так как, исходя из принципа эквивалентности, наблюдатель никаким образом не может отличить неинерционность связанной с ним системы отсчёта от гравитационного поля, метрика пространства-времени определяет также искривление пространства в поле массивных тел.

Пространственно-временной интервал выражается через метрику пространства-времени формулой

$d{s}^2=g_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$$ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$.

Так как метрика задаёт превращения координат, то её называют также метрическим тензором.

Метрика пространства-времени используется для установления связи между ковариантными и контравариантными записями любого 4-вектора

$A_i=g_{ij}{A}^j$$A_{i}=g_{ij}A^{j}$.

СвойстваПравить

Метрический тензор симметричный относительно своих индексов, то есть $g_{ij}=g_{ji}$$g_{{ij}}=g_{{ji}}$ . Это видно из общей формулы для квадрата дифференциала пространственно-временного интервала. Детерминант метрики пространства-времени, который обозначается через g, отрицательный.

Контравариантная форма метрического тензора связана с ковариантной с помощью полностью антисимметрического тензора четвёртого порядка

$E^{ijkl}=\frac{1}{\sqrt{-<!--\; -\; -->g}}{e}^{ijkl}$$E^{ijkl}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}$ ,

где $e^{ijkl}$$e^{{ijkl}}$  — обычный полностью антисимметрический тензор, определённый в инерционной системе отсчёта, то есть тензор, компоненты которого равны 1 или -1 и меняют знак при перестановке каких-либо двух индексов.

Таким образом

$g^{ij}=\frac{1}{\sqrt{-<!--\; -\; -->g}}{e}^{ijkl}{g}_{kl}$$g^{ij}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}g_{kl}$ 

Метрический тензор, как и какой-либо симметрический тензор, возможно выбором системы отсчёта свести к диагональному виду. Однако эта операция справедлива только к определённой точке пространства-времени и, в общем случае, не может быть проведена для всего пространства-времени.

Собственное времяПравить

Квадрат дифференциала пространственно-временного интервала для одной пространственной точки равен

$d{s}^2=g_{00}(d{x}^0{)}^2=c^{2}d{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2$$ds^{2}=g_{{00}}(dx^{0})^{2}=c^{2}d\tau ^{2}$ ,

где с — скорость света в вакууме.

Величину

$\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\frac{1}{c}\int <!--\; \int \; -->\sqrt{g_{00}}d{x}^0$$\tau ={\frac {1}{c}}\int {\sqrt {g_{{00}}}}dx^{0}$ 

называют собственным временем для данной точки пространства.

Пространственный интервалПравить

Квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками задаётся формулой

$d{l}^2={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}d{x}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}d{x}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\left(-<!--\; -\; -->g_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}+\frac{g_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}0}{g}_{0\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}{g_{00}}\right)d{x}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}d{x}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$dl^{2}=\gamma _{{\alpha \beta }}dx^{\alpha }dx^{\beta }=\left(-g_{{\alpha \beta }}+{\frac {g_{{\alpha 0}}g_{{0\beta }}}{g_{{00}}}}\right)dx^{\alpha }dx^{\beta }$ 

Греческие индексы используются тогда, когда суммирование ведётся лишь по пространственным координатам. Тензор ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$\gamma _{{\alpha \beta }}$  есть метрический тензор для трёхмерного пространства.

Интегрировать определённое таким образом расстояние нельзя, так как результат зависел бы от мировой линии, по которой бы велось интегрирование. Таким образом, в общей теории относительности понятия расстояния между далёкими объектами в трёхмерном пространстве теряет смысл. Единственное исключение — ситуация, в которой метрический тензор $g_{ij}$$g_{{ij}}$  не зависит от времени.

См. такжеПравить

• Статическая изотропная метрика

СсылкиПравить

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. — М.: Наука, 1974. — Т. 2.
• Г. А. Зисман. [bse.sci-lib.com/article076056.html Метрика пространства-времени Значение слова "Метрика пространства-времени" в Большой советской энциклопедии]  (неопр.). bse.sci-lib.com. Дата обращения: 10 июня 2009. Архивировано 2 апреля 2012 года.