Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой.

Различают криволинейный интеграл первого рода, в котором скалярная функция умножается на бесконечно малую длину области кривой, и второго рода — где вектор-функция скалярно умножается на бесконечно малый вектор, лежащий вдоль кривой, которая наделена направлением.

ОпределениеПравить

Начальные условияПравить

КриваяПравить

Пусть $l$$l$  — гладкая (непрерывно дифференцируемая), без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически:

$l:<!--\; :\; -->\mathbf{r}(t),$$l\colon ~\mathbf {r} (t),$ 

где r — радиус-вектор, конец которого описывает кривую, а параметр t направлен от какого-то начального значения a к конечному значению b. Для интеграла второго рода направление, в котором движется параметр, определяет само направление кривой $l.$$l.$  При этом не играет роли, что больше — b или a.

Интегрируемая функцияПравить

Пусть дана скалярная или векторная функция, от которой рассматривается интеграл вдоль кривой $l:<!--\; :\; -->$$l\colon$  $f(\mathbf{r})$$f(\mathbf {r} )$  или $\mathbf{f}(\mathbf{r}).$$\mathbf {f} (\mathbf {r} ).$ 

РазбиениеПравить

Разбиение отрезка параметризацииПравить

• Пусть дано разбиение отрезка $[a,b]$$[a,b]$  (или $[b,a]$$[b,a]$ ) то есть множество $\{t_k{\}}_{k=0}^n=\{t_0,...,t_n\},$$\{t_{k}\}_{k=0}^{n}=\{t_{0},~...,t_{n}\},$  где:
  • $a=t_{0}<\ldots <t_{n}=b,$  если $a<b;$ 
  • или $a=t_0>\dots <!--\; \dots \; -->>t_n=b,$$a={{t}_{0}}>\ldots >{{t}_{n}}=b,$  если $a>b.$$a>b.$ 

• Мелкостью этого разбиения называется число $\underset{k=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1,n}}{max}\{|t_k-<!--\; -\; -->t_{k-<!--\; -\; -->1}|\},$$\max _{k={\overline {1,n}}}\{|t_{k}-t_{k-1}|\},$  обозначающее максимальное возможное из расстояний между всеми соседними значениями этого разбиения.

• Введём набор промежуточных точек разбиения — точек ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k,$$\xi _{k},$  каждая из которых лежит между $t_{k-<!--\; -\; -->1}$$t_{k-1}$  и $t_k$$t_k$  ($k=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1,n}$$k=\overline {1,n}$ ).

Разбиение кривойПравить

• Зададим разбиение кривой $\{\mathbf{r}(t_k){\}}_{k=0}^n,$$\{\mathbf {r} (t_{k})\}_{k=0}^{n},$  которое соответствует разбиению $\{t_k{\}}_{k=0}^n$$\{t_{k}\}_{k=0}^{n}$  отрезка параметризации.

• За $l_k$$l_{k}$  обозначим часть кривой $\mathbf{r}(t)$$\mathbf {r} (t)$  от значения параметра $t=t_{k-<!--\; -\; -->1}$$t=t_{k-1}$  до значения $t=t_k,$$t=t_{k},$  где $k=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1,n}.$$k={\overline {1,n}}.$ 

• Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой — точек $\mathbf{r}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k),$$\mathbf {r} (\xi _{k}),$  каждая из которых лежит на $l_k$$l_{k}$  ($k=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1,n}$$k=\overline {1,n}$ ).

Интегральные суммыПравить

Ниже для определения интегральных сумм используются промежуточные точки $\mathbf{r}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k),$$\mathbf {r} (\xi _{k}),$  разбиение $\{t_k{\}}_{k=0}^n$$\{t_{k}\}_{k=0}^{n}$  и участки $l_k$$l_{k}$  кривой $l.$$l.$  Рассмотрим две интегральные суммы:

• интегральную сумму для интеграла первого рода:

  $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}f(\mathbf{r}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k))\cdot <!--\; \cdot \; -->|l_k|,$$\sum \limits _{k=1}^{n}f{\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot |l_{k}|,$  где |l_k| — длина участка l_k;

• интегральную сумму для интеграла второго рода:

  $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathbf{f}(\mathbf{r}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k))\cdot <!--\; \cdot \; -->(\mathbf{r}(t_k)-<!--\; -\; -->\mathbf{r}(t_{k-<!--\; -\; -->1})),$$\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot {\big (}\mathbf {r} (t_{k})-\mathbf {r} (t_{k-1}){\big )},$ 

где вектор-функция f скалярно умножается на приращение r(t_k) − r(t_k−1).

Криволинейный интегралПравить

Если в интегральных суммах n неограниченно увеличить так, чтобы мелкость стремилась к нулю, то в пределе получится криволинейный интеграл от функции $f$$f$  ($\mathbf{f}$$\mathbf {f}$ ) по кривой $l.$$l.$  Если этот предел действительно существует, то говорят, что функция $f$$f$  ($\mathbf{f}$$\mathbf {f}$ ) интегрируема по кривой $l.$$l.$  Тогда интегралы первого и второго рода обозначаются:

${\int <!--\; \int \; -->}_{l}f(\mathbf{r})|\mathbf{d}\mathbf{r}|,{\int <!--\; \int \; -->}_l\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{r},$$\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |},\quad \int _{l}\mathbf {f(r)\cdot dr} ,$ 

где dr — вектор-дифференциал вдоль кривой. В случае с интегралом второго рода важно направление кривой: от этого зависит направление самого дифференциала dr.

Если кривая $l$$l$  замкнута (начало совпадает с концом), то вместо значка $\int <!--\; \int \; -->$$\textstyle \int$  принято писать $\oint <!--\; \oint \; -->.$$\textstyle \oint .$ 

Криволинейный интеграл первого родаПравить

 

Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле

СвойстваПравить

1. Линейность:

   ${\int <!--\; \int \; -->}_l(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}f(\mathbf{r})+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}g(\mathbf{r}))\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_{l}f\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_{l}g\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}.$$\int _{l}(\alpha f(\mathbf {r} )+\beta g(\mathbf {r} ))\cdot \mathbf {|dr|} =\alpha \int _{l}f\mathbf {|dr|} +\beta \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$ 

2. Аддитивность: если $l_1$$l_{1}$  и $l_2$$l_{2}$  пересекаются в одной точке, то

   ${\int <!--\; \int \; -->}_{l_1\cup <!--\; \cup \; -->l_2}f\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}={\int <!--\; \int \; -->}_{l_1}f\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}+{\int <!--\; \int \; -->}_{l_2}f\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}.$$\int _{l_{1}\cup l_{2}}f\mathbf {|dr|} =\int _{l_{1}}f\mathbf {|dr|} +\int _{l_{2}}f\mathbf {|dr|} .$ 

3. Монотонность: если $f⩽<!--\; ⩽\; -->g$$f\leqslant g$  на $l$$l$ , то

   ${\int <!--\; \int \; -->}_{l}f\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}⩽<!--\; ⩽\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{l}g\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}.$$\int _{l}f\mathbf {|dr|} \leqslant \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$ 

4. Теорема о среднем: при непрерывности функции $f$$f$  на $l$$l$  для интеграла ${\int <!--\; \int \; -->}_{l}f\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}$$\textstyle \int _{l}f\mathbf {|dr|}$  возможно подобрать такую точку $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\in <!--\; \in \; -->l,$$\xi \in l,$  что

   ${\int <!--\; \int \; -->}_{l}f\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}={\int <!--\; \int \; -->}_{l}f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|},$$\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =\int _{l}f(\xi )\mathbf {|dr|} ,$  или, что то же самое, ${\int <!--\; \int \; -->}_{l}f\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}=f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})\cdot <!--\; \cdot \; -->|l|.$$\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =f(\xi )\cdot |l|.$ 

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:

   ${\int <!--\; \int \; -->}_{AB}f\cdot <!--\; \cdot \; -->|\mathbf{d}\mathbf{r}|={\int <!--\; \int \; -->}_{BA}f\cdot <!--\; \cdot \; -->|-<!--\; -\; -->\mathbf{d}\mathbf{r}|={\int <!--\; \int \; -->}_{BA}f\cdot <!--\; \cdot \; -->|\mathbf{d}\mathbf{r}|.$$\int _{AB}f\cdot |\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |{-}\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |\mathbf {dr} |.$ 

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

ВычислениеПравить

Пусть $l$$l$  — гладкая, спрямляемая (конечной длины) кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция $f(\mathbf{r})$$f(\mathbf {r} )$  определена и интегрируема вдоль кривой $l.$$l.$  Тогда в общем случае

${\int <!--\; \int \; -->}_{l}f(\mathbf{r})|\mathbf{d}\mathbf{r}|={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f(\mathbf{r})\cdot <!--\; \cdot \; -->|\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{r}}(t)dt|={\int <!--\; \int \; -->}_b^{a}f(\mathbf{r})\cdot <!--\; \cdot \; -->|\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{r}}(t)dt|,$$\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|=\int _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|,$ 

или, если раскрыть модуль дифференциала dt,

$\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}={\begin{cases}\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|(-dt),&{\text{если}}~a<b,\\\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|(-dt)=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt,&{\text{если}}~a>b.\end{cases}}$ 

где точкой обозначена производная по t.

Криволинейный интеграл второго родаПравить

 

Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на векторном поле

СвойстваПравить

1. Линейность:

${\int <!--\; \int \; -->}_l(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathbf{f}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathbf{g})\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{r}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_l\mathbf{f}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{r}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_l\mathbf{g}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{r}.$$\int _{l}(\alpha \mathbf {f} +\beta \mathbf {g} )\cdot \mathbf {dr} =\alpha \int _{l}\mathbf {f\cdot dr} +\beta \int _{l}\mathbf {g\cdot dr} .$ 

2. Аддитивность:

${\int <!--\; \int \; -->}_{AB}\mathbf{f}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{r}+{\int <!--\; \int \; -->}_{BC}\mathbf{f}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{r}={\int <!--\; \int \; -->}_{ABC}\mathbf{f}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{r}.$$\int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} +\int _{BC}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{ABC}\mathbf {f\cdot dr} .$ 

3. ${\int <!--\; \int \; -->}_{BA}\mathbf{f}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{r}={\int <!--\; \int \; -->}_{AB}\mathbf{f}\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->\mathbf{d}\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{AB}\mathbf{f}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{r}.$$\int _{BA}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{AB}\mathbf {f} \cdot (-\mathbf {dr} )=-\int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} .$ 

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

ВычислениеПравить

Пусть AB — гладкая кривая, заданная параметрически (как в определении) и наделённая направлением от A до B. Пусть функция $\mathbf{f}$$\mathbf {f}$  определена и интегрируема вдоль кривой $l.$$l.$  Тогда

${\int <!--\; \int \; -->}_{AB}\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{r}={\int <!--\; \int \; -->}_a^b\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{r}}(t)dt,$$\int _{AB}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt,$ 

а при изменении обхода кривой:

${\int <!--\; \int \; -->}_{BA}\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{r}={\int <!--\; \int \; -->}_b^a\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{r}}(t)dt=-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_a^b\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{r}}(t)dt.$$\int _{BA}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{b}^{a}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt=-\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt.$ 

Взаимосвязь криволинейных интеграловПравить

Если обозначить за $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$${{\vec {\tau }}}$  единичный вектор касательной к кривой $l,$$l,$  который имеет то же направление, в каком параметризирована сама кривая, то взаимосвязь между криволинейными интегралами такова:

$\mathbf{d}\mathbf{r}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}.$$\mathbf {\color {Green}dr} ={\vec {\tau }}\mathbf {\color {Green}|dr|} .$ 

В терминах самих интегралов это выглядит так:

${\int <!--\; \int \; -->}_l\mathbf{f}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{r}={\int <!--\; \int \; -->}_l\mathbf{(}\mathbf{f}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\mathbf{\to <!--\; \to \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\mathbf{)}\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|},$$\int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Green}|dr|} ,$ 

где $l$$l$  — гладкая, спрямляемая кривая, наделённая направлением, а вектор-функция $\mathbf{f}$$\mathbf {f}$  интегрируема на ней.

Трёхмерное евклидово пространствоПравить

В трёхмерном евклидовом пространстве дифференциалы координат вектора, направленного вдоль направленной кривой, выражаются через направляющие косинусы, если воспользоваться определением скалярного произведения:

$dx=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}})|\mathbf{d}\mathbf{r}|;$$dx=\cos \angle ({\vec {i}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;$ 

$dy=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}})|\mathbf{d}\mathbf{r}|;$$dy=\cos \angle ({\vec {j}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;$ 

$dz=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}})|\mathbf{d}\mathbf{r}|.$$dz=\cos \angle ({\vec {k}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |.$ 

Тогда, раскладывая скалярное произведение в ${\int <!--\; \int \; -->}_l\mathbf{f}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{r}={\int <!--\; \int \; -->}_l\mathbf{(}\mathbf{f}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\mathbf{\to <!--\; \to \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\mathbf{)}\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}$$\textstyle \int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Green}|dr|}$  по координатам, взаимосвязь криволинейных интегралов можно выразить так:

${\int <!--\; \int \; -->}_l{f}_x(x,y,z)dx={\int <!--\; \int \; -->}_l{f}_x(x,y,z)\cos <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}})|\mathbf{d}\mathbf{r}|;$$\int _{l}f_{x}(x,y,z)dx=\int _{l}f_{x}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {i}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;$ 

${\int <!--\; \int \; -->}_l{f}_y(x,y,z)dy={\int <!--\; \int \; -->}_l{f}_y(x,y,z)\cos <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}})|\mathbf{d}\mathbf{r}|;$$\int _{l}f_{y}(x,y,z)dy=\int _{l}f_{y}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {j}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;$ 

${\int <!--\; \int \; -->}_l{f}_z(x,y,z)dz={\int <!--\; \int \; -->}_l{f}_z(x,y,z)\cos <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}})|\mathbf{d}\mathbf{r}|.$$\int _{l}f_{z}(x,y,z)dz=\int _{l}f_{z}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {k}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |.$ 

Механические приложенияПравить

• Работа A по перемещению материальной точки вдоль направленной кривой l под воздействием силы F представляет собой

$A={\int <!--\; \int \; -->}_l\mathbf{F}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{r}.$$A=\int _{l}\mathbf {F\cdot dr} .$ 

• Масса m криволинейного (бесконечно тонкого) тела l, линейная плотность которого вдоль кривой l равна μ(r), выражается интегралом

$m={\int <!--\; \int \; -->}_l\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}.$$m=\int _{l}\mathbf {\mu (r)|dr|} .$ 

• Центр масс (центра тяжести) криволинейного тела l с линейной плотностью μ(r) выражается через радиус-вектор r_c как

${\mathbf{r}}_c=\frac{1}{m}{\int <!--\; \int \; -->}_l\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(\mathbf{r})\mathbf{r}\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|},$$\mathbf {r} _{c}={\frac {1}{m}}\int _{l}\mu (\mathbf {r} )\mathbf {r|dr|} ,$ где m — масса кривой l.

• Моменты инерции кривой l при её вращении вокруг координатных осей в 3-мерном пространстве:

$I_x={\int <!--\; \int \; -->}_l(y^2+z^2)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|},$$I_{x}=\int _{l}(y^{2}+z^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} ,$ 

$I_y={\int <!--\; \int \; -->}_l(z^2+x^2)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|},$$I_{y}=\int _{l}(z^{2}+x^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} ,$ 

$I_z={\int <!--\; \int \; -->}_l(x^2+y^2)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\mathbf{|}\mathbf{d}\mathbf{r}\mathbf{|}.$$I_{z}=\int _{l}(x^{2}+y^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} .$ 

• Сила притяжения точечной массы m₀ в начале координат с криволинейным телом l равна

$\mathbf{F}=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{m}_0{\int <!--\; \int \; -->}_l\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(\mathbf{r})}{r^3}|\mathbf{d}\mathbf{r}|,$$\mathbf {F} =\gamma m_{0}\int _{l}{\frac {\mu (\mathbf {r} )}{r^{3}}}|\mathbf {dr} |,$ 

где μ(r) — линейная плотность кривой l, γ — гравитационная постоянная.

См. такжеПравить

• Комплексный криволинейный интеграл
• Теорема Грина
• Векторный анализ
• Циркуляция векторного поля
• Механические приложения криволинейных интегралов