Ньютонов потенциал

Ньюто́новым потенциа́лом называют функцию, заданную в ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$ и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x|⁻¹:

$V=\frac{1}{|x|}\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}.$$V={\frac {1}{|x|}}*\rho .$

Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ.

Объёмный потенциалПравить

Если ρ — интегрируемая функция на некоторой области G и ρ(x) = 0, $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^3\setminus <!--\; \setminus \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}$$x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G}}$ , то ньютонов потенциал, называемый объемным потенциалом, можно выразить через интеграл

$V(x)=\underset{G}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(y)}{|x-<!--\; -\; -->y|}dy$$V(x)=\iiint \limits _{G}{\frac {\rho (y)}{|x-y|}}dy$ 

О гладкости потенциала можно сказать следующее. Если ρ ∈ C(G), то V(x) ∈ C¹(ℝ³) и ΔV(x) = 0 при x ∈ ${\mathbb{R}}^3\setminus <!--\; \setminus \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}$$\mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G}}$ .

Потенциал простого слояПравить

Вместо области G теперь рассматривается ограниченная кусочно-гладкая поверхность с нормалью n, μ — непрерывная функция на S. Ньютоновым потенциалом простого слоя называется свёртка

$V^{(0)}=\frac{1}{|x|}\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_S$$V^{(0)}={\frac {1}{|x|}}*\mu \delta _{S}$ 

или в интегральном виде:

$V^{(0)}(x)=\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(y)}{|x-<!--\; -\; -->y|}d{S}_y,$$V^{(0)}(x)=\iint \limits _{S}{\frac {\mu (y)}{|x-y|}}dS_{y},$ 

Потенциал простого слоя гармоничен вне области S, является непрерывным всюду в ℝ³ и в бесконечно удаленной точке стремится к нулю. Кроме того, если S — поверхность Ляпунова, то на ней наблюдается разрыв нормальной производной потенциала простого слоя:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{V}^{(0)}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{n}}{|}_{+}=-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(S)+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{V}^{(0)}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{n}}{|}_S,$${\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{+}=-2\pi \mu (S)+{\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{S},$ 

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{V}^{(0)}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{n}}{|}_{-<!--\; -\; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(S)+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{V}^{(0)}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{n}}{|}_S,$${\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{-}=2\pi \mu (S)+{\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{S},$ 

где индексы «+» и «-» обозначают соответственно внешнюю и внутреннюю производные на S.

В случае постоянной плотности μ и поверхности Ляпунова потенциал простого слоя равен:

$V^{(0)}(x)={\begin{cases}4\pi \mu {\frac {R^{2}}{|x|}},\ |x|\geqslant R,\\4\pi \mu R,\ |x|<R.\end{cases}}$ 

Потенциал двойного слояПравить

Полностью аналогично потенциалу простого слоя вводится ньютоновский потенциал двойного слоя:

$V^{(1)}(x)=-<!--\; -\; -->\frac{1}{|x|}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{n}}(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_S)=\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(y)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{n}}_y}\frac{1}{|x-<!--\; -\; -->y|}d{S}_y=\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\frac{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{|x-<!--\; -\; -->y{|}^2}d{S}_y,$$V^{(1)}(x)=-{\frac {1}{|x|}}*{\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}(\nu \delta _{S})=\iint \limits _{S}\nu (y){\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} _{y}}}{\frac {1}{|x-y|}}dS_{y}=\iint \limits _{S}\mu {\frac {\cos \varphi }{|x-y|^{2}}}dS_{y},$ 

где φ — угол между нормалью к поверхности S в точке y и радиус-вектором, направленном из точки x в точку y.

Потенциал двойного слоя непрерывен в замыкании области, ограничиваемой поверхностью S, непрерывен вне этой области и непрерывен на самой поверхности S, если она является поверхностью Ляпунова, однако при переходе через поверхность S он претерпевает разрыв:

$V_{+}^{(1)}(S)=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(S)+V^{(1)}(S),$$V_{+}^{(1)}(S)=2\pi \nu (S)+V^{(1)}(S),$ 

$V_{-<!--\; -\; -->}^{(1)}(S)=-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(S)+V^{(1)}(S).$$V_{-}^{(1)}(S)=-2\pi \nu (S)+V^{(1)}(S).$ 

На бесконечности потенциал двойного слоя стремится к нулю.

В случае постоянной плотности ν и поверхности Ляпунова потенциал двойного слоя равен:

$V^{(1)}(x)=\{\begin{array}{l}0,x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^3\setminus <!--\; \setminus \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G},\\ -<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->},x\in <!--\; \in \; -->S,\\ -<!--\; -\; -->4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->},x\in <!--\; \in \; -->G.\end{array}$$V^{(1)}(x)={\begin{cases}0,\ x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G}},\\-2\pi \nu ,\ x\in S,\\-4\pi \nu ,\ x\in G.\end{cases}}$ 

Физический смысл ньютоновских потенциаловПравить

Так как потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона, он может быть создан массами или зарядами, распределенными в пространстве с плотностью ρ. В частности, непрерывное распределение масс или зарядов создает объемный потенциал; если массы или заряды сосредоточены на поверхности, то они создают потенциал простого слоя; если же на поверхности сосредоточены диполи, то это потенциал двойного слоя.

См. такжеПравить

• Гравитация
• Задача Дирихле
• Задача Неймана
• Логарифмический потенциал
• Теория потенциала

ЛитератураПравить

Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.

СсылкиПравить

[bse.sci-lib.com/article091961.html Потенциал в Большой советской энциклопедии]