Языки Арнольда

Языки Арнольда — в теории динамических систем, области рациональности числа вращения в двупараметрическом семействе гомеоморфизмов окружности, начинающемся (при нулевом значении одного из параметров) с чистых поворотов.

Постановка задачиПравить

Рассмотрим семейство гомеоморфизмов окружности

$f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(x)=x+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\sin <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x),x,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z},\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\in <!--\; \in \; -->[0,1/10].$$f_{\alpha ,\varepsilon }(x)=x+\alpha +\varepsilon \sin(2\pi x),\quad x,\alpha \in S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} ,\,\varepsilon \in [0,1/10].$ 

Для этого семейства, можно рассмотреть функцию $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$\rho (\alpha ,\varepsilon )$ , сопоставляющую параметрам $(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$(\alpha ,\varepsilon )$  число вращения соответствующего гомеоморфизма. Множества точек, в которых она принимает рациональные значения,

$E_{p/q}:=\{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})=p/q\},$$E_{p/q}:=\{(\alpha ,\varepsilon )\mid \rho (\alpha ,\varepsilon )=p/q\},$ 

и называются языками Арнольда.

Описание поведенияПравить

 

Языки Арнольда для некоторых значений числа вращения

При $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=0$$\varepsilon=0$  отображение $f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$f_{\alpha }$  является поворотом на угол $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ . Соответственно, $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},0)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\rho (\alpha ,0)=\alpha$ , и рациональное значение $p/q$$p/q$  принимается только в соответствующей точке $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=p/q$$\alpha =p/q$ 

Напротив, при сколь угодно малом ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0>0$$\varepsilon _{0}>0$  для каждого $p/q$$p/q$  пересечение $E_{p/q}$$E_{p/q}$  с горизонтальным отрезком $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0$$\varepsilon =\varepsilon _{0}$  оказывается отрезком. Это связано с тем, что, как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально со знаменателем q тогда и только тогда, когда у отображения $f^q$$f^{q}$  имеется неподвижная точка. Соответственно, поскольку семейство $f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$$f_{\alpha ,\varepsilon }$  при любом фиксированном $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  монотонно по $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , при увеличении $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  наблюдается последовательность бифуркаций:

• Сначала (на левом краю $E_{p,q}\cap <!--\; \cap \; -->\{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0\}$$E_{p,q}\cap \{\varepsilon =\varepsilon _{0}\}$ ) у $f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}$$f_{\alpha ,\varepsilon _{0}}$  появляется полуустойчивая периодическая орбита периода $q$$q$  точка (или одновременно появляются несколько таких орбит); все точки, не принадлежащие к таким орбитам, стремятся к ним, дрейфуя «по часовой стрелке» (в направлении убывания $x$$x$ ).
• Эти орбиты немедленно распадаются на устойчивые и неустойчивые; устойчивые с ростом параметра $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  дрейфуют против, а неустойчивые по часовой стрелке.
• В течение определённого отрезка параметров $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  периодические точки дрейфуют, возможно, происходит рождение новых или уничтожение старых орбит.
• Наконец, в некоторый момент оказывается, что все имевшиеся орбиты слились в одну или несколько полуустойчивых орбит, дрейф в дополнении к которым идёт против часовой стрелки — в положительном направлении. Это и есть правая граница $E_{p,q}\cap <!--\; \cap \; -->\{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0\}$$E_{p,q}\cap \{\varepsilon =\varepsilon _{0}\}$  — при сколь угодно малом дальнейшем увеличении $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  периодические точки периода $q$$q$  исчезают (а число вращения, тем самым, строго увеличивается).

Единственное возможное поведение аналитического диффеоморфизма, при котором вышеописанный сценарий не имеет места — это диффеоморфизм конечного порядка: если для некоторого $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  отображение $f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}^q$$f_{\alpha ,\varepsilon _{0}}^{q}$  тождественно, то соответствующее $E_{p,q}\cap <!--\; \cap \; -->\{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0\}$$E_{p,q}\cap \{\varepsilon =\varepsilon _{0}\}$  состоит из одной точки $(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0)$$(\alpha ,\varepsilon _{0})$ . Однако, соображения комплексного анализа легко показывают, что для рассматриваемого выше семейства это не происходит.

Подытоживая всё вышесказанное, видим, что множество $E_{p/q}$$E_{p/q}$  — это своеобразный «язык», «растущий» из точки $(p/q,0)$$(p/q,0)$  и ограниченный двумя непрерывными кривыми.

Также, используя теорему Данжуа и соображения монотонности, несложно увидеть, что для любого иррационального $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  множество $E_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}=\{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\}$$E_{\varphi }=\{\rho (\alpha ,\varepsilon )=\varphi \}$  — это непрерывная кривая, начинающаяся из точки $(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},0)$$(\varphi ,0)$ .

Стоит отметить, что при любом фиксированном $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  число вращения как функция параметра $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  является канторовой лестницей. Однако, в отличие от обычной конструкции канторовой лестницы, канторово множество её точек роста (замыкание множества параметров $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , соответствующих иррациональным числам вращения) оказывается имеющим положительную меру Лебега.

СсылкиПравить

• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.