Число вращения

В теории динамических систем, области математики, число вращения сохраняющего ориентацию гомеоморфизма окружности — среднее "число оборотов за одну итерацию" при длительном итерировании точки. Более точно, это предел отношения (некоторым образом определённого) "числа оборотов" к количеству итераций.

ОпределениеПравить

Для формального определения, вместо гомеоморфизма окружности $f:S^1\to <!--\; \to \; -->S^1$$f:S^{1}\to S^{1}$  рассматривают его поднятие $F:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$  для накрытия окружности прямой $S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$$S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ . Число сдвига этого поднятия определяется как предел

$\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(F)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{F^n(x)-<!--\; -\; -->x}{n},$$\tau (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}},$ 

где $x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$x\in \mathbb {R}$  — произвольная точка. Число вращения f тогда определяется как

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(f):=\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(F)\mathrm{mod}1\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}/\mathbb{Z}$$\rho (f):=\tau (F)\mod 1\,\in \mathbb {R} /\mathbb {Z}$ .

СвойстваПравить

• Число вращения является инвариантом сохраняющего ориентацию топологического сопряжения, и даже полусопряжения отображениями степени 1: если $h:S^1\to <!--\; \to \; -->S^1$$h:S^{1}\to S^{1}$  — отображение степени 1, такое, что $f\circ <!--\; \circ \; -->h=h\circ <!--\; \circ \; -->g$$f\circ h=h\circ g$ , где $f,g$$f,g$  — гомеоморфизмы окружности, то числа вращения $f$$f$  и $g$$g$  совпадают.
• Как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально тогда и только тогда, когда у отображения есть периодическая точка.
• Теорема Данжуа утверждает, что, если отображение $f$$f$  — C²-гладкое, а его число вращения $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(f)$$\rho (f)$  иррационально, то $f$$f$  сопряжено повороту на $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(f)$$\rho (f)$ .
• Число вращения непрерывно зависит от гомеоморфизма — отображение $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}:Homeo(S^1)\to <!--\; \to \; -->S^1$$\rho :Homeo(S^{1})\to S^{1}$  непрерывно.

ЛитератураПравить

• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.