Ядро Дирихле

Для термина «Дирихле» см. также другие значения.

Ядро Дирихле — $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$-периодическая функция, задаваемая следующей формулой:

$D_n(x)=\underset{k=-<!--\; -\; -->n}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{e^{ikx}}{2}=\frac{1}{2}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\cos <!--\; \; -->(kx)=\frac{\sin <!--\; \; -->\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{2\sin <!--\; \; -->(x/2)}.$$D_{n}(x)=\sum _{{k=-n}}^{n}{\frac {e^{{ikx}}}{2}}={\frac {1}{2}}+\sum _{{k=1}}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{2\sin(x/2)}}.$

Функция названа в честь французско-немецкого математика Дирихле. Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму тригонометрического ряда Фурье. Это позволяет аналитически оценивать соотношения между исходной функцией и её приближениями в пространстве $L_2[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$L_2[-\pi,\pi]$.

Соотношение с рядом ФурьеПравить

Пусть $f(x)$$f(x)$  — интегрируема на $[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$[-\pi ,\pi ]$  и $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ -периодическая, тогда $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$\forall x\in {\mathbb {R}}~\forall n\in {\mathbb {N}}$ 

$S_n(f;x)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x+u)\frac{\sin <!--\; \; -->(n+\frac{1}{2})u}{2\sin <!--\; \; -->\frac{u}{2}}du=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x+u)D_n(u)du$$S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u)D_{n}(u)du$ 

Эта формула является одной из важнейших в теории рядов Фурье.

ДоказательствоПравить

Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.

$S_n(f;x)=\frac{a_0}{2}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(a_k\cos <!--\; \; -->(kx)+b_k\sin <!--\; \; -->(kx))(1)$$S_{n}(f;x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{{k=1}}^{{n}}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx))\qquad (1)$ 

$S_n(f;x)=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dt+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left[\left(\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)\cos <!--\; \; -->(kt)dt\right)\cos <!--\; \; -->(kx)+\left(\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)\sin <!--\; \; -->(kt)dt\right)\sin <!--\; \; -->(kx)\right](2)$$S_{n}(f;x)={\frac 1{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)dt+\sum _{{k=1}}^{n}\left[\left({\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\cos(kt)dt\right)\cos(kx)+\left({\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\sin(kt)dt\right)\sin(kx)\right]\qquad (2)$ 

$S_n(f;x)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)\left[\frac{1}{2}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\cos <!--\; \; -->(kt)\cos <!--\; \; -->(kx)+\sin <!--\; \; -->(kt)\sin <!--\; \; -->(kx)\right)\right]dt(3)$$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\left[{\frac 1{2}}+\sum _{{k=1}}^{n}\left(\cos(kt)\cos(kx)+\sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt\qquad (3)$ 

Применяя формулу косинуса разности к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:

$S_n(f;x)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)\left[\frac{1}{2}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\cos <!--\; \; -->(k(t-<!--\; -\; -->x)\right)\right]dt(4)$$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\left[{\frac 1{2}}+\sum _{{k=1}}^{n}\left(\cos(k(t-x)\right)\right]dt\qquad (4)$ 

Рассмотрим сумму косинусов: $\frac{1}{2}+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\cos <!--\; \; -->(2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})+...+\cos <!--\; \; -->(n\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$${\frac 1{2}}+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha )$ 

Умножим каждое слагаемое на $2\sin <!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2})$$2\sin({\frac \alpha {2}})$  и преобразуем по формуле $2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})+\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})$$2\sin \alpha \cos \beta =\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )$ 

$2\sin <!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2})\left(\frac{1}{2}+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\cos <!--\; \; -->(2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})+...+\cos <!--\; \; -->(n\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\right)=\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}+\sin <!--\; \; -->\frac{3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\frac{3\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}+...+\sin <!--\; \; -->(n+\frac{1}{2})\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\sin <!--\; \; -->(n+\frac{1}{2})\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$2\sin({\frac \alpha {2}})\left({\frac 1{2}}+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha )\right)=\sin {\frac \alpha {2}}-\sin {\frac \alpha {2}}+\sin {\frac {3\alpha }{2}}-\sin {\frac {3\alpha }{2}}+...+\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha =\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha$ 

Применяя это преобразование к формуле (4), получим:

$S_n(f;x)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)\frac{\sin <!--\; \; -->(n+\frac{1}{2})(t-<!--\; -\; -->x)}{2\sin <!--\; \; -->\frac{t-<!--\; -\; -->x}{2}}dt(5)$$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})(t-x)}{2\sin {\frac {t-x}{2}}}}dt\qquad (5)$ 

Сделаем замену переменного $u=t-<!--\; -\; -->x$$u=t-x$ 

$S_n(f;x)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->x}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->x}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x+u)\frac{\sin <!--\; \; -->(n+\frac{1}{2})u}{2\sin <!--\; \; -->\frac{u}{2}}du=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x+u)\frac{\sin <!--\; \; -->(n+\frac{1}{2})u}{2\sin <!--\; \; -->\frac{u}{2}}du(6)$$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi -x}}^{{\pi -x}}f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du\qquad (6)$ 

Свойства ядра ДирихлеПравить

• $D_n(x)$$D_{n}(x)$  — функция $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ -периодическая и четная.
• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{D}_n(u)du=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(u)du={\pi }$ 

См. такжеПравить

• Сопряжённое ядро Дирихле
• Ядро Фейера
• Ядро Джексона