Ядро Джексона

Ядром Джексона в теории приближений называется $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$-периодическая функция, задающаяся формулой:

$d_n(t)={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_n{\left(\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{nt}{2}}{\sin <!--\; \; -->\frac{t}{2}}\right)}^4$$d_{n}(t)=\gamma _{n}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{4}$

Названо именем учёного, занимавшегося теорией приближений и тригонометрических полиномов — Данхэма Джексона^[en].

Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму ряда Фурье.

Константа ядра ДжексонаПравить

Константа ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_n$$\gamma_n$  определяется из соотношения $\underset{\mathbb{T}}{\int <!--\; \int \; -->}{d}_n(t)dt=1,\mathbb{T}=[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->};\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$\int \limits _{\mathbb {T} }{d_{n}(t)dt}=1,\mathbb {T} =[-\pi ;\pi ]$  и равна ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_n=\frac{3}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n(2n^2+1)}$$\gamma _{n}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)}}$ 

ДоказательствоПравить

Используем равенство Парсеваля для случая пространства L₂:

Если $f\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{L}}_2$$f\in \mathbb {L} _{2}$ , то верно следующее тождество: $\underset{Q}{\int <!--\; \int \; -->}{f}^2=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(\frac{a_0^2}{2}+\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(a_n^2+b_n^2\right)\right)$$\int \limits _{Q}{f^{2}}=\pi \left({\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}\right)$ 

Необходимо подставить в это равенство $f={\left(\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{nt}{2}}{\sin <!--\; \; -->\frac{t}{2}}\right)}^2$$f=\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}$ 

Предварительно необходимо написать выражение для ${\left(\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{nt}{2}}{\sin <!--\; \; -->\frac{t}{2}}\right)}^2$$\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}$ , используя ядро Фейера и ядро Дирихле:

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}(t)=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n}{\left(\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{nt}{2}}{\sin <!--\; \; -->\frac{t}{2}}\right)}^2=\frac{1}{n}\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{D}_k(t)=$$\Phi _{n-1}(t)={\frac {1}{2\pi n}}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{D_{k}(t)}=$ 
$=\frac{1}{n}\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\left(\frac{1}{2}+\underset{j=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\cos <!--\; \; -->jt\right)$$={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1}{2}}+\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}$ 

Из этого следует, что

${\left(\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{nt}{2}}{\sin <!--\; \; -->\frac{t}{2}}\right)}^2=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n\frac{1}{n}\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\left(\frac{1}{2}+\underset{j=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\cos <!--\; \; -->jt\right)=n+2\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\cos <!--\; \; -->jt$$\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}=2\pi n{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1}{2}}+\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}=n+2\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}}$ 

Поменяв местами две суммы и применив соответствующее преобразование для индексов, получим:

${\left(\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{nt}{2}}{\sin <!--\; \; -->\frac{t}{2}}\right)}^2=n+2\underset{j=1}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{k=1}{\overset{n-<!--\; -\; -->j}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\cos <!--\; \; -->jt=n+\underset{j=1}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(n-<!--\; -\; -->j)\cos <!--\; \; -->jt$$\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}=n+2\sum \limits _{j=1}^{n-1}\sum \limits _{k=1}^{n-j}{\cos {jt}}=n+\sum \limits _{j=1}^{n-1}{(n-j)\cos {jt}}$ 

Далее, очевидно, что коэффициенты полученного тригонометрического полинома будут коэффициентами Фурье его суммы, то есть $a_{0}=2n,a_{k}=k-j(0<k<n),a_{k}=0(k>n-1),b_{k}=0$ 

Остаётся лишь подставить эти коэффициенты в соответствующее выражение для интеграла:

$\underset{Q}{\int <!--\; \int \; -->}{\left(\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{nt}{2}}{\sin <!--\; \; -->\frac{t}{2}}\right)}^4=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(2n^2+4\underset{j=1}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(n-<!--\; -\; -->j\right)}^2\right)=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(2n^2+4\underset{j=1}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{j}^2\right)=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(2n^2+4\left(\frac{n(n-<!--\; -\; -->1)(2n-<!--\; -\; -->1)}{6}\right)\right)=$$\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{4}}=\pi \left(2n^{2}+4\sum \limits _{j=1}^{n-1}{\left(n-j\right)^{2}}\right)=\pi \left(2n^{2}+4\sum _{j=1}^{n-1}{j^{2}}\right)=\pi \left(2n^{2}+4\left({\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}\right)\right)=$ 
$=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(\frac{12n^2+8n^3-<!--\; -\; -->12n^2+4n}{6}\right)=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n(2n^2+1)}{3}$$=\pi \left({\frac {12n^{2}+8n^{3}-12n^{2}+4n}{6}}\right)={\frac {2\pi n(2n^{2}+1)}{3}}$ 
А значит, подставив в основное тождество для ядра Джексона, можно получить выражение для константы:
${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_n=\frac{1}{\underset{Q}{\int <!--\; \int \; -->}{\left(\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{nt}{2}}{\sin <!--\; \; -->\frac{t}{2}}\right)}^4}=\frac{3}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n(2n^2+1)}$$\gamma _{n}={\frac {1}{\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{4}}}}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)}}$ 
Таким образом, утверждение о константе доказано.

См. такжеПравить

• Тригонометрический ряд Фурье
• Неравенство Джексона — Стечкина
• Ядро Дирихле
• Ядро Фейера

ЛитератураПравить

• A.V. Efimov. Jackson Singular Integral  (неопр.) (2001). Дата обращения: 11 октября 2010. Архивировано из оригинала 2 октября 2010 года.
• A. Shadrin. Approximation Theory – Lecture 9 (University of Cambridge - Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics)  (неопр.) (2005). Дата обращения: 11 октября 2010. Архивировано из оригинала 5 июня 2011 года.
• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
• Бари Н.К. Тригонометрические ряды. — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — С. 936.
• D. Jackson. The theory of approximation. — Amer. Math. Soc., 1930.