Ядро Фейера

Ядро Фейера — функция, применяющаяся для суммирования по Чезаро рядов Фурье или преобразований Фурье, задаваемая формулой:

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n(x)=\frac{1}{n+1}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{D}_k(x)$$\Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)$,

где $D_k(x)$$D_{k}(x)$ — ядро Дирихле. В сокращённой форме:

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n(x)=\frac{1}{2(n+1)}\frac{{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{n+1}{2}x}{{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{x}{2}}$$\Phi _{n}(x)={\frac {1}{2(n+1)}}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n+1}{2}}x}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}$.

Названо в честь венгерского математика Липота Фейера.

Если $f(x)$$f(x)$ — интегрируемая на $[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$[-\pi ,\pi ]$ и $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$-периодическая функция, то:

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_n(f;x)=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x-<!--\; -\; -->u){\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n(u)du=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}(f(x-<!--\; -\; -->u)+f(x+u)){\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n(u)du$$\forall x\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} \;\;\sigma _{n}(f;x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x-u)\Phi _{n}(u)du=\int \limits _{0}^{\pi }(f(x-u)+f(x+u))\Phi _{n}(u)du$.

Теорема Фейера: если $f(x)$$f(x)$ — непрерывная $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$-периодическая функция, $S_k(x)$$S_k(x)$ — частичные суммы ряда Фурье этой функции, а ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_n(x)$$\sigma _{n}(x)$ — среднее арифметическое этих частичных сумм — ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_n(x)=\frac{1}{n+1}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{S}_k(x)$$\sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=0}^{n}{S_{k}(x)}$ (называемое также суммой Фейера порядка $n$$n$), то ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_n(x)$$\sigma _{n}(x)$ равномерно сходится к $f(x)$$f(x)$.

Если ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n(x)$$\Phi _{n}(x)$ — положительная $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$-периодическая чётная функция, то выполнены следующие утверждения:

• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n(u)du=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(u)du={\pi }$;
• $\underset{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n(u)du\to <!--\; \to \; -->0,\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n(u)du\to <!--\; \to \; -->0,n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(u)du\rightarrow 0,\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _{n}(u)du\rightarrow 0,n\rightarrow \infty$ для любого фиксированного $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$.

Ядро Фейера для интеграла Фурье:

$F_n(x)=\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n}\frac{{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{n}{2}x}{x^2}$$F_{n}(x)={\frac {2}{\pi n}}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n}{2}}x}{x^{2}}}$

Свойства ядра Фейера для интеграла Фурье:

• $F_n(x)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$F_{n}(x)\geqslant 0$;
• ${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{F}_n(x)dx=1$$\int _{-\infty }^{\infty }F_{n}(x)dx=1$;
• ${\int <!--\; \int \; -->}_{|x|⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{F}_n(x)dx\to <!--\; \to \; -->0$$\int _{|x|\geqslant \delta }F_{n}(x)dx\rightarrow 0$ для любого фиксированного $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$ при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n \rightarrow \infty$.

ЛитератураПравить

• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.
• Фейера метод суммирования — статья из Математической энциклопедии