Гиперболические уравнения

Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.

Волновой процесс, получаемый при решении уравнения гиперболического типа

Уравнения второго порядкаПравить

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции $u:<!--\; :\; -->{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$u\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ :

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ij}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_k\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_k}+cu=f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: $a_{ij}=a_{ji}$$a_{{ij}}=a_{{ji}}$ . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

$\left(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}A{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^T\right)u+\mathbf{b}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}u+cu=f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ,

где $A=A^T$$A=A^{T}$ .
Матрица $A$$A$  называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна $(n-<!--\; -\; -->1,1)$$(n-1,1)$ , то есть матрица $A$$A$  имеет $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  положительных собственных значений и одно отрицательное (либо наоборот: $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  отрицательных, одно положительное), то уравнение относят к гиперболическому типу.

Другое, эквивалентное определение: уравнение называется гиперболическим, если оно представимо в виде:

$Lu-<!--\; -\; -->a^2\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}=f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_{n-<!--\; -\; -->1},t)$$Lu-a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=f(x_{1},\ldots ,x_{{n-1}},t)$ ,

где: $L$$L$  — положительно определённый эллиптический оператор, $a\ne <!--\; \ne \; -->0$$a \neq 0$ .

Уравнения первого порядка на плоскостиПравить

Уравнение типа

$u_t+A{u}_x=h(t,x,u)$$u_{t}+Au_{x}=h(t,x,u)$ 

где $x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$x\in \mathbb {R}$ , $t\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$t\in \mathbb {R}$ , $A=A(x,t,u)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^{n\cdot <!--\; \cdot \; -->n}$$A=A(x,t,u)\in \mathbb {R} ^{n\cdot n}$  — квадратные матрицы и $u=u(x,t)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$u=u(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}$  — неизвестные. Являются гиперболическими если матрица $A$$A$  имеет различные вещественные собственные значения для всех параметров.

Решение гиперболических уравненийПравить

Для нахождения однозначного решения уравнение доопределяется начальными и краевыми условиями, поскольку уравнение имеет второй порядок по времени, то начальных условия два: для самой функции и для её производной.

• Для аналитического решения уравнений в бесконечной области используют формулу Кирхгофа, которая в одномерном случае представляется в виде формулы Д’Аламбера, а в двухмерном в виде формулы Пуассона — Парсеваля.
• Для аналитического решения в конечной области можно использовать метод разделения переменных Фурье и его модификации для решения неоднородных уравнений.
• Для численного решения используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, их комбинацию (по времени решают конечными разностями, по пространству — конечными элементами), а также другие численные методы, подходящие под задачу.

Примеры гиперболических уравненийПравить

• Волновое уравнение — уравнение, описывающее колебания струн, мембран и так далее.
• Различные уравнения, получаемые из уравнений Максвелла, описывающие электромагнитное поле. Это может быть постановка относительно одного из векторов $\mathbf{A},\mathbf{E},\mathbf{B},\mathbf{D},\mathbf{H}$${\mathbf {A}},{\mathbf {E}},{\mathbf {B}},{\mathbf {D}},{\mathbf {H}}$ , считая не нулевой только одну из компонент вектора (то есть когда уравнение становится скалярным).
• Сеть Чебышёва — решение линейного гиперболического уравнения первой степени.

См. такжеПравить

• Эллиптические уравнения
• Параболическое уравнение
• Схема с разностями против потока

ЛитератураПравить

• Гиперболического типа уравнение // Математический энциклопедический словарь. Гл.ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Советская энциклопедия». — 1988.
• Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. — М., Наука, 1984. — 208 с.