Эллиптические функции Якоби

Эллиптические функции Якоби — это набор основных эллиптических функций комплексного переменного и вспомогательных тета-функций, которые имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника). Они также имеют полезные аналогии с тригонометрическими функциями, как показывает соответствующее обозначение $\mathrm{s}\mathrm{n}$$\operatorname{\mathrm{sn}}$ для $\sin$$\sin$. Они не дают самый простой способ развить общую теорию, как замечено недавно: это может быть сделано на основе эллиптических функций Вейерштрасса. Эллиптические функции Якоби имеют в основном параллелограмме по два простых полюса и два простых нуля.

ВведениеПравить

Существует эллиптическая функция, имеющая в основном параллелограмме один полюс второго порядка и два простых нуля; это — «эллиптическая функция Вейерштрасса». Впрочем, более полезны «эллиптические функции Якоби», имеющие по два простых полюса и по два простых нуля в каждом основном параллелограмме. Каждая из этих функций в основном параллелограмме принимает любое значение в точности два раза.

ОбозначениеПравить

Для эллиптических функций можно встретить разнообразные обозначения, которые могут запутать суть дела. Эллиптические функции — функции двух переменных. Первую переменную можно дать в терминах амплитуды $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ , или обычно, в терминах $u$$u$ , данного ниже. Вторую переменную можно было бы дать в терминах параметра $m$$m$ , или как эллиптический модуль $k$$k$ , где $k^2=m$$k^{2}=m$ , или в терминах модулярного угла $\text{æ}$${\mbox{æ}}$ , где $m={\sin }^2<!--\; \; -->\text{æ}$$m=\sin ^{2}{\mbox{æ}}$ .

Определение как обратные к эллиптическим интеграламПравить

Приведённое выше определение в терминах мероморфных функций абстрактно. Существует более простое, но абсолютно эквивалентное определение, задающее эллиптические функции как обратные к неполному эллиптическому интегралу первого рода. Пусть

$u=\underset{0}{\overset{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->m{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}.$$u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.$ 

Эллиптическая функция $\mathrm{sn}<!--\; \; -->u$$\operatorname {sn} u$  задаётся как

$\mathrm{sn}<!--\; \; -->u=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\operatorname {sn} u=\sin \varphi$ 

и $\mathrm{cn}<!--\; \; -->u$$\operatorname {cn} u$  определяется

$\mathrm{cn}<!--\; \; -->u=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},$$\operatorname {cn} u=\cos \varphi ,$ 

а

$\mathrm{dn}<!--\; \; -->u=\sqrt{1-<!--\; -\; -->m{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}.$$\operatorname {dn} u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}.$ 

Здесь угол $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  называется амплитудой. $\mathrm{dn}<!--\; \; -->u=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(u)$$\operatorname {dn} u=\Delta (u)$  называется дельта амплитудой. Значение $m$$m$  является свободным параметром, который полагается реальным в диапазоне $0⩽<!--\; ⩽\; -->m⩽<!--\; ⩽\; -->1$$0\leqslant m\leqslant 1$ , и таким образом эллиптические функции являются функциями двух аргументов: амплитуды $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  и параметра $m$$m$ .

Оставшиеся девять эллиптических функций легко построить из трёх вышеприведённых. Это будет сделано ниже.

Заметьте, что когда $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2$$\varphi =\pi /2$ , то $u$$u$  равен четверти периода $K$$K$ .

Определение в терминах тета-функцийПравить

Эквивалентно эллиптические функции Якоби можно определить в терминах θ-функций. Если мы определим $\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}(0;\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$\vartheta (0;\;\tau )$  как $\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}$$\vartheta$ , и ${\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{01}(0;\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}),{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{10}(0;\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}),{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{11}(0;\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$\vartheta _{01}(0;\;\tau ),\vartheta _{10}(0;\;\tau ),\;\vartheta _{11}(0;\;\tau )$  соответственно как ${\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{01},{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{10},{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{11}$$\vartheta _{01},\;\vartheta _{10},\;\vartheta _{11}$  (тета константы) тогда эллиптический модуль $k$$k$  равен $k={\left(\frac{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{10}}{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}\right)}^2$$k=\left({\frac {\vartheta _{10}}{\vartheta }}\right)^{2}$ . Полагая $u=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}^{2}z$$u=\pi \vartheta ^{2}z$ , получим

$\mathrm{sn}<!--\; \; -->(u;k)=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{11}(z;\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{10}{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{01}(z;\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})},$$\operatorname {sn} (u;\;k)=-{\frac {\vartheta \vartheta _{11}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\;\tau )}},$ 

$\mathrm{cn}<!--\; \; -->(u;k)=\frac{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{01}{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{10}(z;\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{10}{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{01}(z;\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})},$$\operatorname {cn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\;\tau )}},$ 

$\mathrm{dn}<!--\; \; -->(u;k)=\frac{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{01}\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}(z;\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{01}(z;\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}.$$\operatorname {dn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta (z;\;\tau )}{\vartheta \vartheta _{01}(z;\;\tau )}}.$ 

Поскольку функции Якоби определяются в терминах эллиптического модуля $k(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$k(\tau )$ , необходимо найти обратные к ним и выразить $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  в терминах $k$$k$ . Начнём с дополнительного модуля $k^{\prime }=\sqrt{1-<!--\; -\; -->k^2}$$k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ . Как функция $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  запишем

$k^{\prime }(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})={\left(\frac{{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{01}}{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}\right)}^2.$$k'(\tau )=\left({\frac {\vartheta _{01}}{\vartheta }}\right)^{2}.$ 

Введём обозначение

$\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}=\frac{1}{2}\frac{1-<!--\; -\; -->\sqrt{k^{\prime }}}{1+\sqrt{k^{\prime }}}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{01}}{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}+{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{01}}.$$\ell ={\frac {1}{2}}{\frac {1-{\sqrt {k'}}}{1+{\sqrt {k'}}}}={\frac {1}{2}}{\frac {\vartheta -\vartheta _{01}}{\vartheta +\vartheta _{01}}}.$ 

Определим также ном $q$$q$  как $q=\exp <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$q=\exp(\pi i\tau )$  и разложим $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$\ell$  в ряд по степеням нома $q$$q$ . Получим

$\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}=\frac{q+q^9+q^{25}+\dots <!--\; \dots \; -->}{1+2q^4+2q^{16}+\dots <!--\; \dots \; -->}.$$\ell ={\frac {q+q^{9}+q^{25}+\ldots }{1+2q^{4}+2q^{16}+\ldots }}.$ 

Обращение ряда даёт

$q=\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}+2{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^5+15{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^9+150{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{13}+1707{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{17}+20910{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{21}+268616{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{25}+\dots <!--\; \dots \; -->$$q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ell ^{25}+\ldots$ 

Поскольку мы можем рассмотреть частный случай когда мнимая часть $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  больше или равна $\sqrt{3}/2$${\sqrt {3}}/2$ , мы можем сказать, что значение $q$$q$  меньше или равно $\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{3}/2)$$\exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)$ . Для таких малых значений вышеприведённый ряд сходится очень быстро, и это позволяет легко найти подходящее значение для $q$$q$ .

Другие функцииПравить

Изменением порядка двух букв в названии функций обычно обозначают обратные к трём функциям приведённых выше:

$\mathrm{ns}<!--\; \; -->(u)=1/\mathrm{sn}<!--\; \; -->(u),$$\operatorname {ns} (u)=1/\operatorname {sn} (u),$ 

$\mathrm{nc}<!--\; \; -->(u)=1/\mathrm{cn}<!--\; \; -->(u),$$\operatorname {nc} (u)=1/\operatorname {cn} (u),$ 

$\mathrm{nd}<!--\; \; -->(u)=1/\mathrm{dn}<!--\; \; -->(u).$$\operatorname {nd} (u)=1/\operatorname {dn} (u).$ 

Отношения трёх главных функций обозначают первой буквой числителя, следующей перед первой буквой знаменателя:

$\mathrm{sc}<!--\; \; -->(u)=\mathrm{sn}<!--\; \; -->(u)/\mathrm{c}\mathrm{n}(\mathrm{u}),$$\operatorname {sc} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {cn(u)} ,$ 

$\mathrm{sd}<!--\; \; -->(u)=\mathrm{sn}<!--\; \; -->(u)/\mathrm{d}\mathrm{n}(\mathrm{u}),$$\operatorname {sd} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {dn(u)} ,$ 

$\mathrm{dc}<!--\; \; -->(u)=\mathrm{dn}<!--\; \; -->(u)/\mathrm{c}\mathrm{n}(\mathrm{u}),$$\operatorname {dc} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {cn(u)} ,$ 

$\mathrm{ds}<!--\; \; -->(u)=\mathrm{dn}<!--\; \; -->(u)/\mathrm{s}\mathrm{n}(\mathrm{u}),$$\operatorname {ds} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {sn(u)} ,$ 

$\mathrm{cs}<!--\; \; -->(u)=\mathrm{cn}<!--\; \; -->(u)/\mathrm{s}\mathrm{n}(\mathrm{u}),$$\operatorname {cs} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {sn(u)} ,$ 

$\mathrm{cd}<!--\; \; -->(u)=\mathrm{cn}<!--\; \; -->(u)/\mathrm{d}\mathrm{n}(\mathrm{u}).$$\operatorname {cd} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {dn(u)} .$ 

Более кратко запишем

$\mathrm{pq}<!--\; \; -->(u)=\frac{\mathrm{pr}<!--\; \; -->(u)}{\mathrm{q}\mathrm{r}(\mathrm{u})},$$\operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pr} (u)}{\operatorname {qr(u)} }},$ 

где все буквы $\mathrm{p}$$\operatorname {p}$ , $\mathrm{q}$$\operatorname {q}$ , и $\mathrm{r}$$\operatorname {r}$  являются любыми буквами $\mathrm{s}$$\operatorname {s}$ , $\mathrm{c}$$\operatorname {c}$ , $\mathrm{d}$$\operatorname {d}$ , $\mathrm{n}$$\operatorname {n}$  (следует помнить, что $\mathrm{ss}=\mathrm{cc}=\mathrm{dd}=\mathrm{nn}=1$$\operatorname {ss} =\operatorname {cc} =\operatorname {dd} =\operatorname {nn} =1$ ).

Дополнительные теоремыПравить

Функции удовлетворяют двум алгебраическим соотношениям

${\mathrm{cn}}^2+{\mathrm{sn}}^2=1,$$\operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1,$ 

${\mathrm{dn}}^2+k^2{\mathrm{sn}}^2=1.$$\operatorname {dn} ^{2}+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}=1.$ 

Видно, что ($\mathrm{cn}$$\operatorname {cn}$ , $\mathrm{sn}$$\operatorname {sn}$ , $\mathrm{dn}$$\operatorname {dn}$ ) параметризует эллиптическую кривую, которая является пересечением двух квадрик определённой вышеупомянутыми двумя уравнениями. Мы теперь можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью дополнительных формул для функций Якоби

$\mathrm{cn}<!--\; \; -->(x+y)=\frac{\mathrm{cn}<!--\; \; -->(x)\mathrm{cn}<!--\; \; -->(y)-<!--\; -\; -->\mathrm{sn}<!--\; \; -->(x)\mathrm{sn}<!--\; \; -->(y)\mathrm{dn}<!--\; \; -->(x)\mathrm{dn}<!--\; \; -->(y)}{1-<!--\; -\; -->k^2{\mathrm{sn}}^2<!--\; \; -->(x){\mathrm{sn}}^2<!--\; \; -->(y)},$$\operatorname {cn} (x+y)={\frac {\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {dn} (x)\,\operatorname {dn} (y)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y)}},$ 

$\mathrm{sn}<!--\; \; -->(x+y)=\frac{\mathrm{sn}<!--\; \; -->(x)\mathrm{cn}<!--\; \; -->(y)\mathrm{dn}<!--\; \; -->(y)+\mathrm{sn}<!--\; \; -->(y)\mathrm{cn}<!--\; \; -->(x)\mathrm{dn}<!--\; \; -->(x)}{1-<!--\; -\; -->k^2{\mathrm{sn}}^2<!--\; \; -->(x){\mathrm{sn}}^2<!--\; \; -->(y)},$$\operatorname {sn} (x+y)={\frac {\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {cn} (y)\,\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {dn} (x)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y)}},$ 

$\mathrm{dn}<!--\; \; -->(x+y)=\frac{\mathrm{dn}<!--\; \; -->(x)\mathrm{dn}<!--\; \; -->(y)-<!--\; -\; -->k^2\mathrm{sn}<!--\; \; -->(x)\mathrm{sn}<!--\; \; -->(y)\mathrm{cn}<!--\; \; -->(x)\mathrm{cn}<!--\; \; -->(y)}{1-<!--\; -\; -->k^2{\mathrm{sn}}^2<!--\; \; -->(x){\mathrm{sn}}^2<!--\; \; -->(y)}.$$\operatorname {dn} (x+y)={\frac {\operatorname {dn} (x)\,\operatorname {dn} (y)-k^{2}\,\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {cn} (y)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.$ 

Тригонометрические и гиперболические функции, как частный случай эллиптическихПравить

• Если $m=1$$m=1$ , то

$u=\underset{0}{\overset{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}=\ln <!--\; \; -->\left(\frac{1}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}-<!--\; -\; -->\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right).$$u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\theta }}}}=\operatorname {ln} \left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\operatorname {tg} \varphi \right).$ 

Отсюда

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{sn}u=\frac{e^{2u}-<!--\; -\; -->1}{e^{2u}+1}=\mathrm{th}u.$$\sin \varphi =\operatorname {sn} \,u={\frac {e^{2u}-1}{e^{2u}+1}}=\operatorname {th} \,u.$ 

Отсюда

$\mathrm{cn}u=\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{sn}}^{2}u}=\frac{1}{\mathrm{ch}u}$$\operatorname {cn}\,u={\sqrt {1-\operatorname {sn}^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch}\,u}}$ 

и

$\mathrm{dn}u=\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{sn}}^{2}u}=\frac{1}{\mathrm{ch}u}.$$\operatorname {dn} \,u={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,u}}.$ 

Таким образом, при $m=1$$m=1$  эллиптические функции вырождаются в гиперболические.

• Если $m=0$$m=0$ , то

$u=\underset{0}{\overset{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}.$$u=\int \limits _{0}^{\varphi }d\theta =\varphi .$ 

Отсюда

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\sin u=\mathrm{sn}u,$$\sin \varphi =\sin \,u=\operatorname {sn} \,u,$ 

а также

$\mathrm{cn}u=\cos u,$$\operatorname {cn} \,u=\cos \,u,$ 

$\mathrm{dn}u=1.$$\operatorname {dn} \,u=1.$ 

Таким образом, при $m=0$$m=0$  эллиптические функции вырождаются в тригонометрические.

Соотношение между квадратами функцийПравить

Для квадратов этих функций верны следующие соотношения

$-<!--\; -\; -->{\mathrm{dn}}^2<!--\; \; -->(u)+m_1=-<!--\; -\; -->m{\mathrm{cn}}^2<!--\; \; -->(u)=m{\mathrm{sn}}^2<!--\; \; -->(u)-<!--\; -\; -->m,$$-\operatorname {dn} ^{2}(u)+m_{1}=-m\;\operatorname {cn} ^{2}(u)=m\;\operatorname {sn} ^{2}(u)-m,$ 

$-<!--\; -\; -->m_1{\mathrm{nd}}^2<!--\; \; -->(u)+m_1=-<!--\; -\; -->m{m}_1{\mathrm{sd}}^2<!--\; \; -->(u)=m{\mathrm{cd}}^2<!--\; \; -->(u)-<!--\; -\; -->m,$$-m_{1}\;\operatorname {nd} ^{2}(u)+m_{1}=-mm_{1}\;\operatorname {sd} ^{2}(u)=m\;\operatorname {cd} ^{2}(u)-m,$ 

$m_1{\mathrm{sc}}^2<!--\; \; -->(u)+m_1=m_1{\mathrm{nc}}^2<!--\; \; -->(u)={\mathrm{dc}}^2<!--\; \; -->(u)-<!--\; -\; -->m,$$m_{1}\;\operatorname {sc} ^{2}(u)+m_{1}=m_{1}\;\operatorname {nc} ^{2}(u)=\operatorname {dc} ^{2}(u)-m,$ 

${\mathrm{cs}}^2<!--\; \; -->(u)+m_1={\mathrm{ds}}^2<!--\; \; -->(u)={\mathrm{ns}}^2<!--\; \; -->(u)-<!--\; -\; -->m,$$\operatorname {cs} ^{2}(u)+m_{1}=\operatorname {ds} ^{2}(u)=\operatorname {ns} ^{2}(u)-m,$ 

где $m+m_1=1$$m+m_{1}=1$  и $m=k^2$$m=k^{2}$ .

Дополнительные равенства для квадратов можно получить если заметить, что ${\mathrm{pq}}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{qp}}^2=1$$\operatorname {pq}^{2}\cdot \operatorname {qp}^{2}=1$ , а также $\mathrm{pq}=\mathrm{pr}<!--\; \; -->/\mathrm{qr}$$\operatorname {pq}=\operatorname {pr}/\operatorname {qr}$ , где $\mathrm{p}$$\operatorname {p}$ , $\mathrm{q}$$\operatorname {q}$ , $\mathrm{r}$$\operatorname {r}$  — любые буквы $\mathrm{s}$$\operatorname {s}$ , $\mathrm{c}$$\operatorname {c}$ , $\mathrm{d}$$\operatorname {d}$ , $\mathrm{n}$$\operatorname {n}$  и $\mathrm{ss}=\mathrm{cc}=\mathrm{dd}=\mathrm{nn}=1$$\operatorname {ss} =\operatorname {cc} =\operatorname {dd} =\operatorname {nn} =1$ .

НомПравить

Пусть ном равен $q=\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{K}^{\prime }/K)$$q=\exp(-\pi K'/K)$  и пусть аргумент — $v=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}u/(2K)$$v=\pi u/(2K)$ . Тогда функции можно представить в виде сумм Ламберта

$\mathrm{sn}<!--\; \; -->(u)=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{K\sqrt{m}}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{q^{n+1/2}}{1-<!--\; -\; -->q^{2n+1}}\sin <!--\; \; -->(2n+1)v,$$\operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin(2n+1)v,$ 

$\mathrm{cn}<!--\; \; -->(u)=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{K\sqrt{m}}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}\cos <!--\; \; -->(2n+1)v,$$\operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos(2n+1)v,$ 

$\mathrm{dn}<!--\; \; -->(u)=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2K}+\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{K}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{q^n}{1+q^{2n}}\cos <!--\; \; -->2nv.$$\operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos 2nv.$ 

Решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравненийПравить

Производные трёх основных эллиптических функций Якоби записываются в виде:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{s}\mathrm{n}(z;k)=\mathrm{c}\mathrm{n}(z;k)\mathrm{d}\mathrm{n}(z;k),$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z;\;k)=\mathrm {cn} \,(z;\;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),$ 

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{c}\mathrm{n}(z;k)=-<!--\; -\; -->\mathrm{s}\mathrm{n}(z;k)\mathrm{d}\mathrm{n}(z;k),$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z;\;k)=-\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),$ 

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{d}\mathrm{n}(z;k)=-<!--\; -\; -->k^2\mathrm{s}\mathrm{n}(z;k)\mathrm{c}\mathrm{n}(z;k).$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z;\;k)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {cn} \,(z;\;k).$ 

Используя теорему, формулировка которой приведена выше получим для заданного $k$$k$  ($0<k<1$ ) уравнения решениями которых являются эллиптические функции Якоби:

• $\mathrm{s}\mathrm{n}(x;k)$$\mathrm {sn} \,(x;\;k)$  является решением уравнения $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+(1+k^2)y-<!--\; -\; -->2k^2{y}^3=0$${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^{3}=0$  и ${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2=(1-<!--\; -\; -->y^2)(1-<!--\; -\; -->k^2{y}^2);$$\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2});$ 

• $\mathrm{c}\mathrm{n}(x;k)$$\mathrm {cn} \,(x;\;k)$  является решением уравнения $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+(1-<!--\; -\; -->2k^2)y+2k^2{y}^3=0$${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0$  и ${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2=(1-<!--\; -\; -->y^2)(1-<!--\; -\; -->k^2+k^2{y}^2);$$\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2});$ 

• $\mathrm{d}\mathrm{n}(x;k)$$\mathrm {dn} \,(x;\;k)$  является решением уравнения $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}-<!--\; -\; -->(2-<!--\; -\; -->k^2)y+2y^3=0$${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0$  и ${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2=(y^2-<!--\; -\; -->1)(1-<!--\; -\; -->k^2-<!--\; -\; -->y^2).$$\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2}).$ 

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Jacobi Elliptic Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Эллиптические функции (недоступная ссылка) — Процедуры для Matlab

ЛитератураПравить

• Бобылёв Д. К. Эллиптические интегралы и функции // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (англ.). — New York: Dover, 1972. See Chapter 16

• Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций (неопр.). — М.: Наука, 1970.

• Ватсон Дж. Н., Уиттекер Э. Т. Курс современного анализа. Часть 2. Трансцендентные функции (рус.). — М.: Мир, 1963. или Москва: УРСС, 2010