Эллиптические функции Вейерштрасса

Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций (зависящих от эллиптической кривой) назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют $\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}$$\wp$-функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ $\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}$$\wp$ (стилизованное P).

ОпределениеПравить

Пусть задана эллиптическая кривая $E=\mathbb{C}/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$E={\mathbb {C}}/\Gamma$ , где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  — решётка в $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ . Тогда $\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}$$\wp$ -функцией Вейерштрасса на ней называется мероморфная функция, заданная как сумма ряда

${\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}_E(z)=\frac{1}{z^2}+\underset{w\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left(\frac{1}{(z-<!--\; -\; -->w{)}^2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{w^2}\right).$$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{w\in \Gamma \setminus \{0\}}}\left({\frac {1}{(z-w)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right).$ 

Можно увидеть, что так определённая функция будет $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ -периодичной на $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ , и потому является мероморфной функцией на $E$$E$ .

Задающий функцию Вейерштрасса ряд является, в определённом смысле, «регуляризованной версией» расходящегося ряда $\underset{w\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{(z-<!--\; -\; -->w{)}^2}$$\sum _{{w\in \Gamma }}{\frac {1}{(z-w)^{2}}}$  — «наивной» попытки задать $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ -периодическую функцию. Этот последний абсолютно расходится (а при отсутствии естественного порядка на $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  имеет смысл говорить только об абсолютной сходимости) при всех z, поскольку при фиксированном z и при больших w модули его членов ведут себя как$\frac{1}{|w{|}^2}$${\frac {1}{|w|^{2}}}$ , а сумма $\underset{w\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{|w{|}^2}$$\sum _{{w\in \Gamma }}{\frac {1}{|w|^{2}}}$  по двумерной решётке $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  расходится.

Варианты определенияПравить

Задавая решётку $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  её базисом, $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}=\{m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1+n{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2\mid <!--\; \mid \; -->m,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}\}$$\Gamma =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in {\mathbb {Z}}\}$ , можно записать

$\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z;{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2)=\frac{1}{z^2}+\underset{(m,n)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}^2\setminus <!--\; \setminus \; -->\{(0,0)\}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left(\frac{1}{(z-<!--\; -\; -->m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1-<!--\; -\; -->n{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2{)}^2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{(m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1+n{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2{)}^2}\right).$$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{(m,n)\in {\mathbb {Z}}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}\left({\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right).$ 

Также, поскольку функция Вейерштрасса как функция трёх переменных однородна, $\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(az;a{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1,a{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2)=a^{-<!--\; -\; -->2}\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z;{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2)$$\wp (az;a\omega _{1},a\omega _{2})=a^{{-2}}\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$ , обозначив $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2/{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1$$\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$ , имеет место равенство

$\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z;{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2)={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1^{-<!--\; -\; -->2}\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z/{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1;1,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}).$$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{{-2}}\wp (z/\omega _{1};1,\tau ).$ 

Поэтому рассматривают

$\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z;\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z;1,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\frac{1}{z^2}+\underset{(m,n)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}^2\setminus <!--\; \setminus \; -->\{(0,0)\}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left(\frac{1}{(z-<!--\; -\; -->m-<!--\; -\; -->n\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}{)}^2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{(m+n\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}{)}^2}\right).$$\wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{(m,n)\in {\mathbb {Z}}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}\left({\frac {1}{(z-m-n\tau )^{2}}}-{\frac {1}{(m+n\tau )^{2}}}\right).$ 

СвойстваПравить

• Функция Вейерштрасса ${\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}_E:E\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbb{C}}$$\wp _{E}:E\mapsto \widehat {{\mathbb {C}}}$  — чётная мероморфная функция на эллиптической кривой E, с единственным полюсом второго порядка в точке 0.
• Как мероморфное отображение степени 2, она задаёт двулистное разветвлённое накрытие сферы Римана тором E. У этого накрытия есть четыре точки ветвления: бесконечность и три критических значения $e_1,e_2,e_3$$e_{1},e_{2},e_{3}$ . Эти четыре значения являются образами четырёх точек, оставляемых на месте автоморфизмом $z\mapsto <!--\; \mapsto \; -->-<!--\; -\; -->z$$z\mapsto -z$  кривой E — точки 0 и трёх полупериодов ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1/2,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2/2,({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2)/2$$\omega _{1}/2,\omega _{2}/2,(\omega _{1}+\omega _{2})/2$ . Таким образом, функция Вейерштрасса осуществляет изоморфизм (или, точнее, спускается до изоморфизма) между топологической сферой $E/(z\mapsto <!--\; \mapsto \; -->-<!--\; -\; -->z)$$E/(z\mapsto -z)$  (наследующей с E комплексную структуру) и сферой Римана $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbb{C}}$$\widehat {{\mathbb {C}}}$ .
• Воспользовавшись разложением $\frac{1}{(w-<!--\; -\; -->z{)}^2}=\frac{1}{w^2}+{\sum <!--\; \sum \; -->}_{j=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{j+1}{w^{j+2}}{z}^j$${\frac {1}{(w-z)^{2}}}={\frac {1}{w^{2}}}+\sum \nolimits _{{j=1}}^{{\infty }}{\frac {j+1}{w^{{j+2}}}}z^{j}$  и просуммировав по $w\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}$$w\in \Gamma \setminus \{0\}$ , можно получить разложение в точке $z=0$$z=0$  функции Вейерштрасса в ряд Лорана:

${\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}_E(z)=\frac{1}{z^2}+\underset{k=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(2k+1)G_{2k}(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->})z^{2k-<!--\; -\; -->2},$$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{{k=2}}^{{\infty }}(2k+1)G_{{2k}}(\Gamma )z^{{2k-2}},$  где $G_{2k}(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->})=\underset{w\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{w}^{-<!--\; -\; -->2k}$$G_{{2k}}(\Gamma )=\sum _{{w\in \Gamma \setminus \{0\}}}w^{{-2k}}$  — ряды Эйзенштейна для решётки $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  (соответствующие нечётные суммы равны нулю).

Однако, коэффициенты при $z^2$$z^{2}$  и $z^4$$z^{4}$  зачастую записывают в другой, традиционной, нормировке, связанной (см. ниже) с вложением эллиптической кривой в $\mathbb{C}{P}^2$${\mathbb {C}}P^{2}$ :

${\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}_E(z)=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{20}{g}_2(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->})z^2+\frac{1}{28}{g}_3(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->})z^4+\dots <!--\; \dots \; -->,$$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,$ 

где $g_2$$g_{2}$  и $g_3$$g_{3}$  — модулярные инварианты решётки $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ :

$g_2(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->})=60G_4(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}),g_3(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->})=140G_6(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}).$$g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma ),\quad g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma ).$ 

Вложение эллиптических кривых в $\mathbb{C}{P}^2$${\mathbb {C}}P^{2}$Править

Функции Вейерштрасса позволяют построить вложение эллиптической кривой в $\mathbb{C}{P}^2$${\mathbb {C}}P^{2}$ , предъявив уравнение, которым задаётся образ. Это устанавливает соответствие между «алгебраическим» и «топологическим» взглядами на эллиптическую кривую — позволяя вложить эллиптическую кривую $E=\mathbb{C}/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$E={\mathbb {C}}/\Gamma$  в $\mathbb{C}{P}^2$${\mathbb {C}}P^{2}$  и выписать явно уравнение, задающее образ.

А именно, рассмотрим отображение $F:E\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}{P}^2$$F:E\to {\mathbb {C}}P^{2}$ , задаваемое вне точки $z=0$$z=0$  как $F(z)=(\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z),{\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^{\prime }(z))\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^2.$$F(z)=(\wp (z),\wp '(z))\in {\mathbb {C}}^{2}.$  Поскольку функция $\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}$$\wp$  мероморфная — это отображение продолжается до голоморфного отображения из $E$$E$  в $\mathbb{C}{P}^2$${\mathbb {C}}P^{2}$ .

Образ этого отображение может быть явно задан. А именно, единственный полюс как функции $\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z)$$\wp (z)$ , так и функции ${\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^{\prime }(z)$$\wp '(z)$  — это точка $z=0$$z=0$ . Более того, поскольку $\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z)$$\wp (z)$  — чётная функция, ${\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^{\prime }(z)$$\wp '(z)$  — нечётная, и, соответственно, $({\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^{\prime }(z){)}^2$$(\wp '(z))^{2}$  — чётная. Функция $\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z)$$\wp (z)$  имеет в нуле полюс второго порядка — поэтому полюса $({\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^{\prime }{)}^2$$(\wp ')^{2}$  могут быть убраны вычитанием линейной комбинации степеней $\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}$$\wp$ . Явно подбирая коэффициенты из разложений

${\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}_E(z)=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{20}{g}_2(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->})z^2+\frac{1}{28}{g}_3(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->})z^4+\dots <!--\; \dots \; -->,$$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,$ 

$({\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}_E^{\prime }(z){)}^2={\left(-<!--\; -\; -->\frac{2}{z^3}+\frac{1}{10}{g}_2(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->})z+\frac{1}{7}{g}_3(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->})z^3+\dots <!--\; \dots \; -->\right)}^2=\frac{4}{z^6}-<!--\; -\; -->\frac{2}{5}{g}_2(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->})\frac{1}{z^2}-<!--\; -\; -->\frac{4}{7}{g}_3(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->})+\dots <!--\; \dots \; -->,$$(\wp '_{E}(z))^{2}=\left(-{\frac {2}{z^{3}}}+{\frac {1}{10}}g_{2}(\Gamma )z+{\frac {1}{7}}g_{3}(\Gamma )z^{3}+\dots \right)^{2}={\frac {4}{z^{6}}}-{\frac {2}{5}}g_{2}(\Gamma ){\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {4}{7}}g_{3}(\Gamma )+\dots ,$ 

видим, что разница

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(z)=({\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}_E^{\prime }(z){)}^2-<!--\; -\; -->4{\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}_E^3(z)+g_2(E)\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z)$$\varphi (z)=(\wp _{E}'(z))^{2}-4\wp _{E}^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)$ 

в точке $z=0$$z=0$  неособая. Но $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(z)$$\varphi (z)$  голоморфна и вне $z=0$$z=0$  (в силу голоморфности $\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}$$\wp$  и ${\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^{\prime }$$\wp '$ ), поэтому $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(z)$$\varphi (z)$  — голоморфная на всей компактной римановой поверхности $E$$E$  функция. В силу принципа максимума $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(z)$$\varphi (z)$  — константа. Наконец, из всё того же разложения в нуле находим её значение — оно оказывается равным $-<!--\; -\; -->g_3(E)$$-g_{3}(E)$ . Окончательно, функция $({\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^{\prime }(z){)}^2-<!--\; -\; -->4{\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^3(z)+g_2(E)\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z)+g_3(E)$$(\wp '(z))^{2}-4\wp ^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)+g_{3}(E)$  обращается на $E$$E$  в тождественный нуль. Тем самым, образ отображения $F$$F$  это эллиптическая кривая в $\mathbb{C}{P}^2$${\mathbb {C}}P^{2}$ , задаваемая уравнением

$y^2=4x^3-<!--\; -\; -->g_2(E)x-<!--\; -\; -->g_3(E).$$y^{2}=4x^{3}-g_{2}(E)x-g_{3}(E).$ 

Собственно говоря, именно с этим связаны «исторические» коэффициенты 60 и 140, связывающие модулярные инварианты $g_2$$g_{2}$  и $g_3$$g_{3}$  с соответствующими суммами обратных степеней $G_2(E)$$G_{2}(E)$  и $G_3(E)$$G_{3}(E)$ : благодаря такому традиционному выбору нормировки, в уравнении на кривую $g_2$$g_{2}$  и $g_3$$g_{3}$  — это в точности коэффициент при $x$$x$  и свободный член.

Голоморфные формы, решётки периодов и обратное отображениеПравить

Для эллиптической кривой $E$$E$  задающая её решётка $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  не является однозначно заданной: она определена с точностью до пропорциональности. Однако, решётка взаимно-однозначно соответствует паре $(E,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$(E,\omega )$ , где $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — ненулевая голоморфная 1-форма на $E$$E$ : в качестве $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  можно взять проекцию на $E$$E$  формы $dz$$dz$  на $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ , тогда $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  восстанавливается как набор всевозможных интегралов $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  по петлям на торе $E$$E$ :

$\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}=\left\{{\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\in <!--\; \in \; -->H_1(E)\right\}$$\Gamma =\left\{\int _{{\gamma }}\omega \mid \gamma \in H_{1}(E)\right\}$ 

На эллиптической кривой $y^2=4x^3+g_2(E)x+g_3(E)$$y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$ , являющейся образом отображения $F=({\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}_E,{\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}_E^{\prime })$$F=(\wp _{E},\wp '_{E})$ , имеется голоморфная форма $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{dx}{y}$$\omega ={\frac {dx}{y}}$ . Несложно видеть, что она является в точности образом формы $dz$$dz$  на $E$$E$  при отображении $F$$F$ . Это позволяет прийти сразу к нескольким выводам:

• Обратное отображение к отображению $F$$F$  ищется как интеграл формы $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ :

$z(x,y)={\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{(x,y)}\frac{dx}{y},$$z(x,y)=\int _{{\infty }}^{{(x,y)}}{\frac {dx}{y}},$ 

где интегрирование производится по пути, лежащему на эллиптической кривой $F(E)$$F(E)$ . Бесконечно удалённая точка на кривой $F(E)$$F(E)$  при этом выбрана как начало пути интегрирования, поскольку является F-образом точки $z=0$$z=0$ , а изменение выбора пути на другой приводит к изменению результата на элемент решётки периодов $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ .

• Обратное отображение к функции Вейерштрасса задаётся как

${\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}_E^{-<!--\; -\; -->1}(x)={\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^x\frac{dx}{\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{4x^3+g_2(E)x+g_3(E)}}.$$\wp _{E}^{{-1}}(x)=\int _{{\infty }}^{x}{\frac {dx}{\pm {\sqrt {4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)}}}}.$ 

(выбор знака соответствует выбору одного из двух прообразов на эллиптической кривой, а изменение пути интегрирования приводит к сдвигу вычисленного прообраза на элемент $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ ).

• Решётка $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  восстанавливается как множество интегралов формы $\frac{dx}{y}$${\frac {dx}{y}}$  по всевозможным замкнутым путям на эллиптической кривой $y^2=4x^3+g_2(E)x+g_3(E)$$y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$ .

Сложение точек на эллиптической кривойПравить

Эллиптическая кривая является (или, точнее, может быть сделана) абелевой группой по сложению. Для «алгебраического» представления $E=\mathbb{C}/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$E={\mathbb {C}}/\Gamma$  это просто сложение точек $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ . Для «геометрического» — как вложенной в $\mathbb{C}{P}^2$${\mathbb {C}}P^{2}$  кривой $y^2=4x^3+px+q$$y^{2}=4x^{3}+px+q$  — это сложение задаётся выбором в качестве нуля бесконечно удалённой точки и правилом «три точки, лежащие на одной прямой, в сумме дают ноль».

Естественно ожидать, что построенное по функции Вейерштрасса отображение $F=(\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(z),{\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^{\prime }(z))$$F=(\wp (z),\wp '(z))$  переводит заданное алгебраически сложение в заданное геометрически — что и имеет место. Этому (поскольку коллинеарность трёх точек задаётся обращением в ноль определителя) соответствует следующее соотношение:

$\det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{bmatrix}}=0$ 

для любых $u+v+w=0$$u+v+w=0$ . Также, ввиду чётности $\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}$$\wp$  и нечётности ${\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^{\prime }$$\wp '$ , оно может быть записано как

$\det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\\\wp (z+w)&-\wp '(z+w)&1\end{bmatrix}}=0$ 

Применение в голоморфной динамикеПравить

С помощью $\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}$$\wp$ -функции Вейерштрасса строится пример Латтэ — пример рационального отображения сферы Римана в себя, множество Фату которого пусто (и, тем самым, динамика которого везде хаотична). А именно, взяв $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}=\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid <!--\; \mid \; -->a,b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}\}$$\Gamma ={\mathbb {Z}}[i]=\{a+bi\mid a,b\in {\mathbb {Z}}\}$ , можно рассмотреть отображение $D$$D$  удвоение на торе $E=\mathbb{C}/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$E={\mathbb {C}}/\Gamma$ :

$D(z)=2z\mathrm{mod}\mathbb{Z}[i].$$D(z)=2z\,\mod {\mathbb {Z}}[i].$ 

Это отображение хаотично везде — сколь угодно маленькая окрестность через конечное число итераций покрывает весь тор.

С другой стороны — отображение $D$$D$  корректно спускается на фактор $S^2=E/(z\sim <!--\; \sim \; -->-<!--\; -\; -->z)$$S^{2}=E/(z\sim -z)$ . Поэтому отображение D отображением $\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}$$\wp$  полусопряжено некоторому рациональному отображению $R:\mathbb{C}{P}^1\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}{P}^1$$R:{\mathbb {C}}P^{1}\to {\mathbb {C}}P^{1}$ :

$\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->D=R\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}.$$\wp \circ D=R\circ \wp .$ 

Иными словами,

$R(z)=\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}(2{\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(z)).$$R(z)=\wp (2\wp ^{{-1}}(z)).$ 

Для такого отображения $R$$R$  образы малых окрестностей также через конечное число итераций закрывают всю сферу Римана. Поэтому множество Жюлиа $J(R)=\mathbb{C}{P}^1$$J(R)={\mathbb {C}}P^{1}$ , а множество Фату, соответственно, пусто.

Наконец, несложно видеть, что степень отображения $R$$R$  равна четырём (поскольку отображение $z\mapsto <!--\; \mapsto \; -->2z$$z\mapsto 2z$  на торе имеет степень 4), и его коэффициенты $R$$R$  можно найти явно, вычислив достаточное число коэффициентов ряда Тейлора $R$$R$  в нуле через ряд Лорана для $\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}$$\wp$  (и, соответственно, для ${\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}$$\wp ^{{-1}}$ ).

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Weierstrass Elliptic Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

ЛитератураПравить

• J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgroups of ${\mathbb{R}}^2$$\mathbb {R} ^{2}$ , Topology 18 (1979), no. 2, p. 143—146.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного.
• A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2