Элементарный топос

См. также: Топос Гротендика

Элемента́рный то́пос — категория, в некотором смысле похожая на категорию множеств, основной предмет изучения теории топосов. Средствами элементарных топосов может быть описана аксиоматика как самой теории множеств, так и альтернативных теорий и логик, например, интуиционистская логика.

ОпределениеПравить

Элементарный топос — это декартово замкнутая конечно полная категория, в которой существует выделенный объект $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ , называемый классификатором подобъектов, и мономорфизм в него из терминального объекта $T:<!--\; :\; -->1\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$T\colon 1\to \Omega$ , называемый истиной (также обозначается $true$$true$ ), такой что для любого мономорфизма $m:<!--\; :\; -->A\to <!--\; \to \; -->B$$m\colon A\to B$  существует единственный морфизм ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_m:<!--\; :\; -->B\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\chi _{m}\colon B\to \Omega$ , для которого диаграмма

 

является декартовым квадратом.

Иначе говоря, элементарный топос — это категория, имеющая терминальный объект и расслоённые произведения, а также экспоненциал $a^b$$a^{b}$  любых двух объектов $a$$a$  и $b$$b$  и классификатор подобъектов $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ .

СвойстваПравить

• Любой элементарный топос является конечно полным (по определению) и конечно кополным.

ПримерыПравить

• Основным примером топоса, свойства которого послужили основой для общего определения, является топос множеств. В нём экспоненциал множеств $A$$A$  и $B$$B$  — это множество $A^B$$A^{B}$  отображений из $B$$B$  в $A$$A$ . Классификатор подобъектов — это множество $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\{0;1\}$$\Omega =\{0;1\}$ , при этом $m$$m$  — естественное вложение $A$$A$  в $B$$B$ , а ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_m$$\chi _{m}$  — характеристическая функция подмножества $A$$A$  множества $B$$B$ , равная 1 на элементах $A$$A$  и 0 на элементах $A\mathrm{\setminus <!--\; \setminus \; -->}B$$A\backslash B$ . Подобъекты $A$$A$  — это его подмножества.
• Категория конечных множеств также является топосом. Это типичный пример элементарного топоса, не являющегося топосом Гротендика.
• Для любой категории $C$$C$  категория функторов $\left[C,\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}\right]$$\left[C,\mathbf {Set} \right]$  является топосом Гротендика. Пределы и копределы функторов вычисляются поточечно. Для функторов $F,G$$F,G$  функтор морфизмов $[F,G]$$[F,G]$  даётся формулой

$[F,G](c)=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(F(c),G(c))$$[F,G](c)=\mathrm {Hom} (F(c),G(c))$ 

Из леммы Йонеды следует, что классификатор подобъектов $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  на объекте $c\in <!--\; \in \; -->C$$c\in C$  равен множеству подфункторов представимого функтора $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(c,\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$\mathrm {Hom} (c,\cdot )$ .

• Категория пучков множеств на любом топологическом пространстве является топосом Гротендика. Если сопоставить пространству $X$$X$  его категорию открытых подмножеств, упорядоченных по вложению, $Ouv(X)$$Ouv(X)$ , то структура топоса на категории пучков описывается в точности так же, как в топосе $[Ouv(X),\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}]$$[Ouv(X),\mathbf {Set} ]$ . Единственное отличие: $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(c)$$\Omega (c)$  есть множество всех подпучков представимого пучка ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{Ouv(X)}(c,\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$\mathrm {Hom} _{Ouv(X)}(c,\cdot )$ .
• Более общо, для любой категории $C$$C$  с заданной топологией Гротендика $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  категория $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ -пучков множеств является топосом Гротендика. Более того, любой топос Гротендика имеет такой вид.
• Вообще говоря, не любой топос Гротендика является категорией пучков на некотором топологическом пространстве. Например, топос пучков на топологическом пространстве всегда имеет точки, соответствующие точкам этого пространства, в то время как общий топос может не иметь ни одной точки. Аналогию между топосами и пространствами можно сделать точной, если в качестве пространств рассматривать локали, при этом категория топосов оказывается эквивалентна категории локалей. Неформально, локаль — это то, что остаётся от понятия топологического пространства, если забыть про точки и рассматривать лишь решётку его открытых подмножеств. Для топологических пространств нет разницы между взглядом на них как на пространства и как на локали. Однако, локаль не обязана соответствовать некоторому топологическому пространству. В частности, она не обязана иметь точки.

ЛитератураПравить

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
• П. Т. Джонстон. Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М.: Наука, 1986. — 440 с.
• F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 3. Categories of Sheaves. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — 522 p. — ISBN 0 521 44180 3.
• P. T. Johnstone. Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. — Oxford: Clarendon Press, 2002. — Т. 1. — ISBN 0 19 852496 X.