Экстраполятор первого порядка

Экстраполятор первого порядка — математическая модель для восстановления дискретизованного сигнала, которое может производиться обычным цифро-аналоговым преобразователем (который в данном случае выступает в качестве экстраполятора нулевого порядка) и аналоговой схемой (интегратором). В этом случае сигнал восстанавливается в виде кусочно-линейной аппроксимации изначально оцифрованного сигнала. По сравнению с экстраполятором нулевого порядка экстраполятор первого порядка в общем случае имеет меньший шум квантования и, следовательно, более точно восстанавливает сигнал.

Математическая модельПравить

 

Идеально оцифрованный сигнал x_s(t).

Пусть x_s(t) — сигнал до оцифровки, и x(nT) — сигнал после оцифровки. Тогда экстраполятор нулевого порядка есть фильтр преобразующий идеально оцифрованный сигнал $x_s(t)$$x_{s}(t)$  $=x(t)T\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->nT)$$=x(t)\ T\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\delta (t-nT)\$  |$=T\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x(nT)\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->nT)$$=T\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(nT)\delta (t-nT)\$ 

 

Кусочно-линейный сигнал x_FOH(t).

в кусочно-линейный сигнал

$x_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{H}}(t)=\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x(nT)\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\left(\frac{t-<!--\; -\; -->nT}{T}\right)$$x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\$ 

 

Импульсная передаточная функция экстраполятора первого порядка h_FOH(t).

и имеющий импульсную передаточную функцию

$h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t|<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\$ 

где $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}(x)$$\mathrm {tri} (x)\$  — треугольная функция.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика экстраполятора первого порядка есть преобразование Фурье его импульсной передаточной функции:

$H_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{H}}(f)$$H_{\mathrm {FOH} }(f)$  $=\mathcal{F}\{h_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{H}}(t)\}$$={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$  $={\left(\frac{e^{i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}fT}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}fT}}{i2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}fT}\right)}^2$$=\left({\frac {e^{i\pi fT}-e^{-i\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\$  $={\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2(fT)$$=\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\$ 

где $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)$${\mathrm {sinc}}(x)\$  — sinc-функция.

Передаточная функция экстраполятора первого порядка получается формальной заменой s = i 2 π f:

$H_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{H}}(s)$$H_{\mathrm {FOH} }(s)$  $=\mathcal{L}\{h_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{H}}(t)\}$$={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$  $={\left(\frac{e^{sT/2}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->sT/2}}{sT}\right)}^2$$=\left({\frac {e^{sT/2}-e^{-sT/2}}{sT}}\right)^{2}\$ 

См. такжеПравить

• Теорема Котельникова
• Экстраполятор нулевого порядка