Треугольная функция

Треугольная функция, треугольный импульс — специальная математическая функция, определяемая как кусочно-линейная в виде:

Треугольная функция.

Свёртка двух прямоугольных импульсов порождает треугольный импульс.

$\operatorname {tri} (t)=\land (t)={\begin{cases}1-|t|;&|t|<1\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}},$

или через свёртку двух единичных прямоугольных функций:

${\begin{aligned}\operatorname {tri} (t)=\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\quad &{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (t-\tau )\ d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (\tau -t)\ d\tau .\end{aligned}}$

ПримененияПравить

• Функция находит применение в обработке сигналов и радиосвязи, представляя собой идеализированный сигнал, являющийся составной частью более сложных реальных сигналов. Также применяется в широтно-импульсной модуляции для передачи и детектирования цифровых сигналов.
• Используется в спектральном анализе по ограниченной выборке данных как оконная функция, в этом случае её обычно называют «окном Бартлета».
• Подобные функции используются в методе конечных элементов, в качестве базиса первого порядка.

СвойстваПравить

Преобразование Фурье треугольного импульса:

$\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\text{tri}(t)e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t}dt$${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\textrm {tri}}(t)e^{-i\omega t}\,dt$  $=\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\left(\frac{\text{sinc}(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}})}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\right)}^2$$={\sqrt {2\pi }}\left({\frac {{\textrm {sinc}}({\frac {\omega }{2\pi }})}{\sqrt {2\pi }}}\right)^{2}$  $=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2\left(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)$$={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)$ 

$\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}(t)\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{-<!--\; -\; -->i2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ft}dt={\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2(f)$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {tri} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt\ =\ \mathrm {sinc} ^{2}(f)$ 

Эти результаты следуют из преобразования Фурье прямоугольной функции и свойства свёртки преобразований Фурье двух сигналов.

См. такжеПравить

• Прямоугольная функция
• Отображение тент