Экстраполятор нулевого порядка

Экстраполятор нулевого порядка — математическая модель, использующаяся при цифро-аналоговом преобразовании для восстановления дискретизованного сигнала в аналоговой форме. Такая модель необходима из-за того, что цифровой сигнал записывается последовательностью дельта-функций x_s(t), каждая из которых представляет собой один отсчёт дискретного сигнала x(nT), из которого восстанавливается непрерывный сигнал x(t). Однако использовать в качестве восстановленного сигнала последовательность импульсов непрактично и зачастую невозможно. Большинство современных цифро-аналоговых преобразователей выдают на выходе напряжение определённого уровня, которое сохраняется до следующего отсчёта.

Идеально оцифрованный сигнал x_s(t).

Таким образом, экстраполятор нулевого порядка — это гипотетический электронный фильтр, преобразовывающий идеально оцифрованный сигнал

$x_s(t)$$x_{s}(t)$ $=x(t)T\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->nT)$$=x(t)\ T\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\delta (t-nT)\$ $=T\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x(nT)\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->nT)$$=T\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(nT)\delta (t-nT)\$

Кусочно-постоянный сигнал x_ZOH(t).

в кусочно-постоянный сигнал

$x_{\mathrm{Z}\mathrm{O}\mathrm{H}}(t)=\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x(nT)\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{t-<!--\; -\; -->nT}{T}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\right)$$x_{{{\mathrm {ZOH}}}}(t)\,=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(nT){\mathrm {rect}}\left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)\$

Импульсная передаточная функция экстраполятора нулевого порядка h_ZOH(t).

имея импульсную передаточную функцию вида

$h_{{{\mathrm {ZOH}}}}(t)\,={\frac {1}{T}}{\mathrm {rect}}\left({\frac {t}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}},&0\leq t<T\\0,&t<0;t\geq T\end{cases}}\$

где $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(x)$${\mathrm {rect}}(x)\$ — прямоугольная функция.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика экстраполятора нулевого порядка — это преобразование Фурье его импульсной передаточной функции:

$H_{\mathrm{Z}\mathrm{O}\mathrm{H}}(f)=\mathcal{F}\{h_{\mathrm{Z}\mathrm{O}\mathrm{H}}(t)\}=\frac{1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->i2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}fT}}{i2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}fT}=e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}fT}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(fT)$$H_{{{\mathrm {ZOH}}}}(f)\,={\mathcal {F}}\{h_{{{\mathrm {ZOH}}}}(t)\}\,={\frac {1-e^{{-i2\pi fT}}}{i2\pi fT}}=e^{{-i\pi fT}}{\mathrm {sinc}}(fT)\$

где $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)$${\mathrm {sinc}}(x)\$ — sinc-функция.

Передаточную функцию экстраполятора нулевого порядка получают формальной заменой s = i 2 π f:

$H_{\mathrm{Z}\mathrm{O}\mathrm{H}}(s)=\mathcal{L}\{h_{\mathrm{Z}\mathrm{O}\mathrm{H}}(t)\}=\frac{1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->sT}}{sT}$$H_{{{\mathrm {ZOH}}}}(s)\,={\mathcal {L}}\{h_{{{\mathrm {ZOH}}}}(t)\}\,={\frac {1-e^{{-sT}}}{sT}}\$

См. такжеПравить

• Теорема Котельникова
• Экстраполятор первого порядка