Экспоненциальное отображение

Экспоненциальное отображение — далеко^{[уточнить]} идущее обобщение экспоненциальной функции в римановой геометрии.

Пробраз поверхности Земли при экспоненциальном отображении к северному плюсу.

Для риманова многообразия $M$$M$ экспоненциальное отображение действует из касательного расслоения $TM$$TM$ в само многообразие $M$$M$.

Экспоненциальное отображение обычно обозначается $\exp :<!--\; :\; -->TM\to <!--\; \to \; -->M$$\exp \colon TM\to M$, а его сужение на касательное пространство $T_{p}M$$T_{p}M$ в точке $p\in <!--\; \in \; -->M$$p\in M$ обозначается ${\exp }_p:<!--\; :\; -->T_{p}M\to <!--\; \to \; -->M$$\exp _{p}\colon T_{p}M\to M$ и называется экспоненциальным отображением в точке $p$$p$.

ОпределениеПравить

Пусть $M$$M$  — риманово многообразие и $p\in <!--\; \in \; -->M$$p\in M$ . Для каждого вектора $v\in <!--\; \in \; -->T_{p}M$$v\in T_{p}M$  существует единственная геодезическая ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_v(t)$$\gamma _{v}(t)$ , выходящая из точки $p$$p$  (то есть ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_v(0)=p$$\gamma _{v}(0)=p$ ), такая что ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_v^{\prime }(0)=v$$\gamma _{v}'(0)=v$ .

Экспоненциальное отображение вектора $v$$v$  есть точка ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_v(1)\in <!--\; \in \; -->M$$\gamma _{v}(1)\in M$ , или $\exp <!--\; \; -->v={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_v(1)$$\exp v=\gamma _{v}(1)$ .

СвойстваПравить

• ${\exp }_p<!--\; \; -->(0)=p$$\exp _{p}(0)=p$ .

• Для каждой точки $p\in <!--\; \in \; -->M$$p\in M$  существует такое число $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$ , что экспоненциальное отображение ${\exp }_p$$\exp _{p}$  определено для всех векторов $v\in <!--\; \in \; -->T_{p}M$$v\in T_{p}M$ , удовлетворяющих условию $|v|\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$|v|\leq \varepsilon$ .
  • Более того, ${\exp }_p$$\exp _{p}$  является диффеоморфизмом некоторой окрестности нуля в касательном пространстве $T_{p}M$$T_{p}M$  в некоторую окрестность точки $p$$p$  многообразия $M$$M$ . Таким образом, в некоторой окрестности точки $p$$p$  многообразия $M$$M$  определено обратное экспоненциальное отображение (называемое логарифмом и обозначаемое ${\log }_p$$\log _{p}$ ), действующее в некоторую окрестность нуля касательного пространства $T_{p}M$$T_{p}M$ .

• В метрически полном римановом многообразии экспоненциальное отображение определено для любого касательного вектора (Теорема Хопфа — Ринова).

• Дифференциал экспоненциального отображения в любой точке $p$$p$  является тождественным линейным оператором. То есть

  $(d_p{\exp }_p)(v)=v$$(d_{p}\exp _{p})(v)=v$ 

для любого $v\in <!--\; \in \; -->T_{p}M$$v\in T_{p}M$ . Здесь мы отождествляем пространство, касательное к $T_{p}M$$T_{p}M$ , с ним самим.

• (Лемма Гаусса о геодезических) Для любых $x,v\in <!--\; \in \; -->T_p$$x,v\in T_{p}$ 

  $g((d_x{\exp }_p)(v),(d_x{\exp }_p)(x))=⟨<!--\; ⟨\; -->v,x⟩<!--\; ⟩\; -->,$$g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,$ 

где $d_x{\exp }_p:<!--\; :\; -->T_p=T_x{T}_p\to <!--\; \to \; -->T_{{\exp }_p<!--\; \; -->x}$$d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x}$  обозначает дифференциал экспоненциального отображения.

• Для групп Ли с би-инвариантной метрикой экспоненциальное отображение совпадает с обычной теоретико-групповой экспонентой.

СсылкиПравить

• А. В. Чернавский. Лекции по классической дифференциальной геометрии (ГЛАВА 10)

ЛитератураПравить

• Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
• А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
• М. М. Постников. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.