Однолистная функция

Однолистная функция — комплексная функция $f(z)$$f(z)$, голоморфная или мероморфная в области $A\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$A\in \mathbb {C}$ и являющаяся биективным отображением между множеством $A$$A$ и его образом $f(A)$$f(A)$.

Аналитическая функция $f$$f$ локально однолистна в точке $z_0$$z_{0}$, если существует некоторая окрестность ${\mathcal{U}}_{z_0}$${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$, где $f$$f$ однолистна (то есть $f^{\prime }(z_0)\ne <!--\; \ne \; -->0$$f'(z_{0})\neq 0$). Максимальная область однолистности для функции $f(z)$$f(z)$ — это область $A\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$A\subset {\mathbb C}$, в которой $f(z)$$f(z)$ однолистна, но в любой области $A^{\prime }\supset <!--\; \supset \; -->A$$A'\supset A$ функция уже не является однолистной.

Принцип однолистности: функция $f$$f$, аналитичная в области $G$$G$, которая продолжается непрерывно на жорданову кривую $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}G$$\partial G$ и осуществляет взаимно однозначное отображение $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}G$$\partial G$ на $f(\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}G)$$f(\partial G)$, однолистна в $G$$G$.

ПримерыПравить

Функция $f:z\mapsto <!--\; \mapsto \; -->2z+z^2$$f:z\mapsto 2z+z^{2}$  является однолистной в открытом единичном круге: из $f(z)=f(w)$$f(z)=f(w)$  следует, что $f(z)-<!--\; -\; -->f(w)=(z-<!--\; -\; -->w)(z+w+2)=0$$f(z)-f(w)=(z-w)(z+w+2)=0$ , и так как $\left\vert z+w\right\vert <2$ , то $f(z)=f(w)$$f(z)=f(w)$  лишь при $z=w$$z=w$ .

См. такжеПравить

• Гипотеза Бибербаха
• Вариация однолистной функции
• Многозначная функция

ЛитератураПравить

• Дженкинс, Дж. Однолистные функции и конформные отображения / пер. с англ. В. П. Хавина. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Милин, И. М. Однолистные функции и ортонормированные системы. — М.: Наука, 1971.