Число развязывания

Число развязывания в теории узлов — один из важных инвариантов узла, минимальное число переключения мостов, то есть число переходов сквозь себя, после чего узел развязывается.

Трилистник развязывается путём переключения одного моста.

Числа развязывания некоторых узловПравить

Любой составной узел имеет число развязывания по меньшей мере два, а потому любой узел с числом развязывания единица является простым. Следующая таблица показывает числа развязывания для первых нескольких узлов:

трилистник
число развязывания = 1
Восьмёрка
число развязывания = 1
Лапчатка
число развязывания = 2
Узел в три полуоборота
число развязывания = 1
Стивидорный узел
число развязывания = 1
6₂^[en]
число развязывания = 1
6₃^[en]
число развязывания = 1
7₁^[en]
число развязывания = 3

СвойстваПравить

Если узел имеет число развязывания $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ , существует диаграмма^[en] узла, которая может быть приведена к тривиальному узлу переключением $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ пересечений^[1]. Число развязывания узла всегда меньше половины его числа пересечений^[2].

В общем случае достаточно сложно определить число развязывания заданного узла. Случаи, для которых число развязывания известно:

Число развязывания нетривиального скрученного узла всегда равно единице.
Число развязывания $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(p,q)$ -торического узла равно $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(p-1)(q-1)/2$ .
Числа развязывания простых узлов с числом пересечений девять и менее известны^[3] (число развязывания простого узла 10₁₁ не известно).

Другие числовые инварианты узловПравить

См. такжеПравить

Задача развязывания

ПримечанияПравить

↑ Adams, 2004, с. 56.
↑ Taniyama, 2009, с. 1049—1063.
↑ Weisstein, Eric W. Unknotting Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

ЛитератураПравить

Kouki Taniyama. Unknotting numbers of diagrams of a given nontrivial knot are unbounded // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2009. — Т. 18, вып. 8. — doi:10.1142/S0218216509007361.
Colin Conrad Adams. The knot book: an elementary introduction to the mathematical theory of knots. — Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2004. — ISBN 0-8218-3678-1.

СсылкиПравить

Число развязывания|Knot Atlas

[_ca4cdfb39403a420-1] Adams, 2004, с. 56.

[_c24ef7677651a402-2] Taniyama, 2009, с. 1049—1063.

[3] Weisstein, Eric W. Unknotting Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[1]

[2]

[3]