Число отрезков

В теории узлов число отрезков — это инвариант узла, определяющий наименьшее число прямых «отрезков», которые, соединяя конец к концу, образуют узел. Конкретнее, для любого узла K число отрезков K, обозначается stick(K), — это наименьшее число звеньев ломаной, эквивалентной K.

2,3 торический узел (трилистник) имеет число отрезков, равное шести. q = 3 и 2 × 3 = 6.

Известные значенияПравить

Наименьшее число отрезков для нетривиальноых узлов равно шести. Имеется небольшое число узлов, для которых число отрезков можно определить точно. Гё Таек Джин (Gyo Taek Jin) определил число отрезков (p, q)-торических узлов T(p, q) для случаев, когда параметры p и q не сильно отличаются:

$\text{stick}(T(p,q))=2q$${\text{stick}}(T(p,q))=2q$  если $2\leq p<q\leq 2p.$ 

Тот же самый результат примерно в то же время независимо получила исследовательская группа, возглавляемая Адамсом^[en], но для меньшей области параметров.

ГраницыПравить

Число отрезков композиции узлов сверху ограничена суммарным числом отрезков исходных узлов:

$\text{stick}(K_1\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}{K}_2)\le <!--\; \le \; -->\text{stick}(K_1)+\text{stick}(K_2)-<!--\; -\; -->3$${\text{stick}}(K_{1}\#K_{2})\leq {\text{stick}}(K_{1})+{\text{stick}}(K_{2})-3$ 

Связанные инвариантыПравить

Число отрезков узла K связано с его числом пересечений c(K) следующим неравенством:

$\frac{1}{2}(7+\sqrt{8c(K)+1})\le <!--\; \le \; -->\text{stick}(K)\le <!--\; \le \; -->\frac{3}{2}(c(K)+1).$${\frac {1}{2}}(7+{\sqrt {8\,c(K)+1}})\leq {\text{stick}}(K)\leq {\frac {3}{2}}(c(K)+1).$ 

ЛитератураПравить

Вводные материалыПравить

• C. C. Adams. Why knot: knots, molecules and stick numbers // Plus Magazine. — 2001. — Вып. May.. Введение для читателей с небольшими знаниями в математике
• C. C. Adams. The Knot Book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. — ISBN 0-8218-3678-1.

Исследовательские статьиПравить

• Colin C. Adams, Bevin M. Brennan, Deborah L. Greilsheimer, Alexander K. Woo. Stick numbers and composition of knots and links // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1997. — Т. 6, вып. 2. — С. 149—161. — doi:10.1142/S0218216597000121.
• Jorge Alberto Calvo. Geometric knot spaces and polygonal isotopy // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2001. — Т. 10, вып. 2. — С. 245—267. — doi:10.1142/S0218216501000834.
• Gyo Taek Jin. Polygon indices and superbridge indices of torus knots and links // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1997. — Т. 6, вып. 2. — С. 281—289. — doi:10.1142/S0218216597000170.
• Seiya Negami. Ramsey theorems for knots, links and spatial graphs // Transactions of the American Mathematical Society. — 1991. — Т. 324, вып. 2. — С. 527—541. — doi:10.2307/2001731.
• Youngsik Huh, Seungsang Oh. An upper bound on stick number of knots // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2011. — Т. 20, вып. 5. — С. 741—747. — doi:10.1142/S0218216511008966.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Stick number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• "Stick numbers for minimal stick knots", KnotPlot Research and Development Site.