Числа эпсилон

Числа эпсилон — ординалы, введенные немецким математиком Гергом Кантором и являющиеся неподвижными точками функции $f(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},$$f(\alpha )=\omega ^{\alpha },$ то есть удовлетворяющие равенству $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}},$$\varepsilon =\omega ^{\varepsilon },$ где $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ — первый трансфинитный ординал. Числа эпсилон могут быть определены следующим образом (как супремумы трансфинитных последовательностей):

• ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0=sup\{0,1,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}},{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}},{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}},...\};$$\varepsilon _{0}=\sup\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},...\};$
• ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1}=sup\{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+1,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+1},{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+1}},{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+1}}},...\};$$\varepsilon _{\alpha +1}=\sup\{\varepsilon _{\alpha }+1,\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1}},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1}}},...\};$
• $\varepsilon _{\alpha }=\sup\{\varepsilon _{\beta }|\beta <\alpha \}$ для предельного ординала $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}.$$\alpha.$

Наименьший ординал, который является неподвижной точкой функции $f(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},$$f(\alpha )=\varepsilon _{\alpha },$ называется ординалом Кантора и обозначается как ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0.$$\zeta _{0}.$

${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0=sup\{0,{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0,{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0},{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}},{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}}},...\}.$$\zeta _{0}=\sup\{0,\varepsilon _{0},\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}},\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}}},...\}.$

Впоследствии, в 1908 году, Освальд Веблен разработал более мощную ординальную нотацию — иерархию функций ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\varphi _{\alpha }$. В соответствии с нотацией Веблена ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$\varepsilon _{\alpha }=\varphi _{1}(\alpha )$.

СсылкиПравить

• J.H. Conway, On Numbers and Games (1976) Academic Press ISBN 0-12-186350-6
• Section XIV.20 of Sierpiński, Wacław (1965), Cardinal and ordinal numbers (Second revised ed.), PWN — Polish Scientific Publishers