Предельный ординал

Ординал $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ называется предельным, если не существует ординала $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ такого, что $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1$$\alpha =\beta +1$.

Пусть $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ — предельный ординал. Конфинальностью $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ называется число $\text{cf}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$${\mbox{cf}}\,(\alpha )$, равное наименьшему $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$, для которого существует функция $f$$f$ из $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ в $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ и $supf(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\sup f(\xi )=\alpha$. Кардинал ${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\aleph _{\alpha }$ называется регулярным, если $\text{cf}({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$${\mbox{cf}}\,(\omega _{\alpha })=\omega _{\alpha }$, сингулярным — если ${\mbox{cf}}\,(\omega _{\alpha })<\omega _{\alpha }$.