Цилиндрическая волна

Цилиндри́ческая волна́ — модель волнового процесса, волна, радиально расходящаяся от некоторой прямой в пространстве или сходящаяся к ней. Частным случаем цилиндрической волны на плоскости является круговая волна, расходящаяся от точки (сходящаяся к ней).

Фронт цилиндрической волны — цилиндрическая поверхность, на оси которой расположен источник, например, имеющий форму нити, то есть бесконечно тонкий и прямолинейный. Распространение фронта такой волны в пространстве можно сравнить с цилиндрической поверхностью, непрерывно увеличивающей свой радиус. Примером цилиндрической волны может служить волновой процесс на поверхности воды от колеблющегося поплавка, а также электромагнитная волна, создаваемая в ближней зоне линейной синфазной антенной.

ОпределениеПравить

Простейшая монохроматическая симметричная цилиндрическая волна с источником в центре удовлетворяет двумерному волновому уравнению и описывается с помощью функции Ганкеля нулевого порядка:

$u(r,t)=H_0(kr)\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t},$$u(r,t)=H_{0}(kr)\cdot e^{{i\omega t}},$

(1.1)

где $H_0(kr)$$H_{0}(kr)$  — функция Ганкеля нулевого порядка;

$i$$i$  — мнимая единица;

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — круговая частота;

$k$$k$  — волновое число;

$r$$r$  — расстояние от оси.

На больших расстояниях от оси — то есть при $kr\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$kr\rightarrow \infty$  волновое поле (1.1) приобретает вид

$u(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r},t)=\frac{u_0}{\sqrt{r}}\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{i(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t-<!--\; -\; -->kr)}.$$u({\overrightarrow {r}},t)={\cfrac {u_{0}}{\sqrt {r}}}\cdot e^{i(\omega t-kr)}.$

(1.2)

СвойстваПравить

• По мере удаления от осциллятора амплитуда убывает гиперболически;
• Так как площадь боковой поверхности цилиндра $\sim <!--\; \sim \; -->r$$\thicksim r$ , то поток функции $u(r,t)$$u(r,t)$  остаётся постоянным;
• В форме записи (1.2) можно выделить амплитуду волны $\frac{A}{\sqrt{r}},$${\cfrac {A}{{\sqrt {r}}}},$  фазу $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t-<!--\; -\; -->kr=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t-<!--\; -\; -->\frac{r}{u_{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}}),$$\omega t-kr=\omega {\bigg (}t-{\cfrac {r}{u_{\Phi }}}{\bigg )},$  где $u_{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$$u_{\Phi }$  — фазовая скорость плоской волны.

СсылкиПравить

• Миллер М. А., Островский А. А. Цилиндрическая волна // Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1983. — С. 846—847. — 928 с. — 100 000 экз.
• Миллер М. А., Островский А. А. Цилиндрическая волна // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 434. — 692 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-85270-101-7.

См. такжеПравить

• Плоская волна
• Сферическая волна
• Длина волны