Поток векторного поля

Пото́к ве́кторного по́ля — термин, используемый в математике для двух различных понятий:

• поток векторного поля через поверхность, это понятие широко используется и в физике, особенно в электродинамике;

• фазовый поток — поток векторного поля $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}$${\vec A}$ — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_t$$\Gamma _{t}$, определяемых дифференциальным уравнением $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}({\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_t(x))=d{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_t(x)/dt$${\vec {A}}(\Gamma _{t}(x))=d\Gamma _{t}(x)/dt$.

Ниже представлено первое из названных понятий (второму посвящена отдельная статья).

Поток векторного поля через поверхностьПравить

Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности $S$$S$ . По определению,

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_F=\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}\mathbf{F}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n}dS$${{\Phi }_{F}}=\iint \limits _{S}{\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}$ ,

где $\mathbf{F}=\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{X}\mathbf{)}$${\mathbf {F}}={\mathbf {F(X)}}$  — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), $\mathbf{n}$$\mathbf {n}$  — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы $\mathbf{n}$$\mathbf {n}$  было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), $dS$$dS$  — элемент поверхности.

В трёхмерном случае $\mathbf{X}=(x,y,z),\mathbf{F}=\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{X}\mathbf{)}=\left(F_x(\mathbf{X}),F_y(\mathbf{X}),F_z(\mathbf{X})\right)$${\mathbf {X}}=(x,y,z),{\mathbf {F}}={\mathbf {F(X)}}=\left(F_{{x}}({\mathbf {X}}),F_{{y}}({\mathbf {X}}),F_{{z}}({\mathbf {X}})\right)$ , а поверхностью является обычная двумерная поверхность.

Иногда применяется обозначение

$d\mathbf{S}=\mathbf{n}dS$$d\mathbf {S} =\mathbf {n} \,dS$ .

тогда поток записывается в виде

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_F=\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}\mathbf{F}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{S}$${{\Phi }_{{F}}}=\iint \limits _{{S}}{{\mathbf {F}}\cdot d{\mathbf {S}}}$ .

Размерность потока — это размерность величины $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$ , домноженная на квадратный метр (в СИ).

Некоторые физические примерыПравить

Из гидродинамики

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения $\mathbf{v}=\mathbf{v}(x,y,z)$${\mathbf {v}}={\mathbf {v}}(x,y,z)$ . Тогда объём жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность $S$$S$ , будет равен потоку векторного поля $\mathbf{v}$$\mathbf{v}$ .

Если плотность равна $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ , то масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность будет равна потоку величины $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathbf{v}$$\rho \mathbf {v}$ :

$\frac{dM}{dt}={\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathbf{v}}=\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathbf{v}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{S}$${\frac {dM}{dt}}={{\Phi }_{\rho \mathbf {v} }}=\iint \limits _{S}{\rho \mathbf {v} \cdot d\mathbf {S} }$ .

Из электродинамики

В основных уравнениях электродинамики — уравнениях Максвелла — фигурируют потоки вектора электрической индукции и вектора магнитной индукции

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_D=\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}\mathbf{D}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{S}$${{\Phi }_{D}}=\iint \limits _{S}{\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S} }\quad$  и ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B=\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}\mathbf{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{S}$$\quad {{\Phi }_{B}}=\iint \limits _{S}{\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }$ .

А именно, эти потоки, если они вычислены для замкнутой поверхности, равны заряду внутри поверхности:

$\underset{S}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathbf{D}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{S}=Q$$\oint \limits _{S}{\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S} }=Q\quad$  и $\underset{S}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathbf{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{S}=0$$\quad \oint \limits _{S}{\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }=0$ ,

где $Q$$Q$  — электрический заряд, а поток вектора $\mathbf{B}$$\mathbf {B}$  нулевой, так как магнитные заряды не существуют.

Ещё пример из электродинамики. Электрический ток представляет собой поток векторного поля плотности тока:

$I=\underset{S}{\iint <!--\; \iint \; -->}\mathbf{j}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{S}$$I=\iint \limits _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}$ 

через поперечное сечение токоведущего проводника.

О понятии плотности потока

Если векторным полем $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$ , поток которого вычисляется, характеризуется перенос какой-либо скалярной величины (например, массы в примере с жидкостью или заряда в примере с током; другие возможные случаи — перенос энергии, перенос спина), то такое поле в данном контексте называется плотностью потока. В таких случаях $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$  имеет структуру $\mathbf{F}={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_f\mathbf{v}$$\mathbf {F} =\rho _{f}\mathbf {v}$ , где ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_f$$\rho _{f}$  обозначает плотность переносимой величины (массы в кг/м³, заряда в Кл/м³, энергии в Дж/м³ и т.д.), а $\mathbf{v}$$\mathbf{v}$  — скорость переноса. Если не переносится ничего (как для потока $\mathbf{D}$$\mathbf {D}$ , $\mathbf{B}$$\mathbf {B}$ ), подобное название не имеет смысла.

См. такжеПравить

• Плотность потока
• Теорема Гаусса
• Векторная трубка