Катеноид

Катеноид — минимальная поверхность, образуемая вращением цепной линии.

Катеноид.

$y=a\mathrm{ch}\frac{x}{a}$$y=a\,\operatorname {ch} \,{\frac {x}{a}}$ вокруг оси $OX$$OX$.

ИсторияПравить

Катеноид был впервые описан Эйлером в 1744 году. Слово катеноид образовано от лат. catena означает цепь и греческого éidos — вид.

УравненияПравить

Катеноид можно задать и параметрически:

$u\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R},v\in <!--\; \in \; -->\left[0;2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\right),\{\begin{array}{l}x=\mathrm{ch}<!--\; \; -->(u)\cos <!--\; \; -->(v)\\ y=\mathrm{ch}<!--\; \; -->(u)\sin <!--\; \; -->(v)\\ z=u\end{array},$$u\in \mathbb {R} ,\quad v\in \left[0;2\pi \right),\qquad {\begin{cases}x=\operatorname {ch} (u)\,\cos(v)\\y=\operatorname {ch} (u)\,\sin(v)\\z=u\end{cases}},$ 

где $\mathrm{ch}$$\operatorname {ch}$  — гиперболический косинус.

СвойстваПравить

 

Мыльная плёнка в форме катеноида.

• Является минимальной поверхностью.
  • В частности, форму катеноида принимает мыльная плёнка, натянутая на две близких проволочных окружности, плоскости которых перпендикулярны линии, соединяющей их центры.
• Не слишком большой участок катеноида можно изометрически (без сжатий и растяжений) преобразовать в участок геликоида.
• Общая кривизна равна $-<!--\; -\; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$-4\cdot \pi$ .
  • Полная погруженная минимальная поверхность в ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$  с общей кривизны $-<!--\; -\; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$-4\cdot \pi$  является либо катеноидом либо поверхностью Эннепера.

СсылкиПравить

• Катеноид // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.