Центр масс

Запрос «Центровка» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Центр масс (тж. центр ине́рции) — геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого. Радиус-вектор данной точки задаётся формулой

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_c={\left(\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})dV\right)}^{-<!--\; -\; -->1}\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}dV,$${\vec {r}}_{c}=\left(\int \rho ({\vec {r}})dV\right)^{-1}\int \rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,$

где $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$\rho ({\vec {r}})$ — зависящая от координат плотность, а интегрирование осуществляется по объёму тела. Центр масс может оказаться как внутри, так и вне тела.

Использование понятия центра масс, а также системы координат, связанной с центром масс, удобно во многих приложениях механики и упрощает расчёты. Если на механическую систему не действуют внешние силы, то её центр масс движется с постоянной по величине и направлению скоростью.

Джованни Чева применял рассмотрение центров масс к решению геометрических задач, в результате были сформулированы теоремы Менелая и теоремы Чевы.

В случае систем материальных точек и тел в однородном гравитационном поле центр масс совпадает с центром тяжести, хотя в общем случае это разные понятия.

Центр масс в классической механикеПравить

ОпределениеПравить

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_c=\frac{\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{m}_i{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_i}{\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{m}_i},$${\vec r}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec r}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}},$ 

где ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_c$${\vec r}_{c}$  — радиус-вектор центра масс, ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_i$${\vec r}_{i}$  — радиус-вектор i-й точки системы, $m_i$$m_{i}$  — масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_c=\frac{1}{M}\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}dV,$${\vec r}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec r}){\vec r}dV,$ 

$M=\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})dV,$$M=\int \limits _{V}\rho ({\vec r})dV,$ 

где $M$$M$  — суммарная масса системы, $V$$V$  — объём, $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами $M_i$$M_{i}$ , то радиус-вектор центра масс такой системы $R_c$$R_{c}$  связан с радиус-векторами центров масс тел $R_{ci}$$R_{{ci}}$  соотношением:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R}}_c=\frac{\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{M}_i{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R}}_{ci}}{\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{M}_i}.$${\vec R}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec R}_{{ci}}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.$ 

Действительно, пусть даны несколько систем материальных точек с массами $M_1,M_2,...M_N.$$M_{1},M_{2},...M_{N}.$  Радиус-вектор ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R}}_{c_n}$${\vec {R}}_{c_{n}}$  $n$$n$ -ной системы:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R}}_{c_n}=\frac{\underset{i_n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{m}_{i_n}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_{i_n}}{\underset{i_n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{m}_{i_n}}=\frac{\underset{i_n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{m}_{i_n}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_{i_n}}{M_n},n=1,2,...N.$${\vec {R}}_{c_{n}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}},\ n=1,2,...N.$ 

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R}}_c=\frac{\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left(\frac{\underset{i_n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{m}_{i_n}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_{i_n}}{M_n}\cdot <!--\; \cdot \; -->M_n\right)}{\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{M}_n}=\frac{\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{M}_i{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R}}_{ci}}{\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{M}_i}.$${\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{n}\left({\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}\cdot M_{n}\right)}{\sum \limits _{n}M_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.$ 

При переходе к протяженным телам с непрерывным распределением плотности в формулах будут интегралы вместо сумм, что даст тот же результат.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

ПримерыПравить

Центры масс плоских однородных фигур

• У отрезка — середина.
• У многоугольников :
  • У параллелограмма — точка пересечения диагоналей.
  • У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).
• У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии.
• У полукруга — точка, делящая перпендикулярный радиус в отношении $\frac{4}{3\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\frac {4}{3\pi }}$  от центра круга.

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):

$x_s=\frac{V_y}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}S}$$x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}$  и $y_s=\frac{V_x}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}S}$$y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}$ , где $V_x,V_y$$V_{x},V_{y}$  — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, $S$$S$  — площадь фигуры.

Центры масс периметров однородных фигур

• Центр масс сторон треугольника находится в центре вписанной окружности дополнительного треугольника (треугольника с вершинами, расположенными в серединах сторон данного треугольника). Эту точку называют центром Шпикера. Это означает то, что если стороны треугольника сделать из тонкой проволоки одинакового сечения, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центром вписанной окружности дополнительного треугольника или с центром Шпикера.

ИспользованиеПравить

Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механикеПравить

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_c=\frac{\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_i{E}_i}{\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{E}_i},$${\vec r}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec r}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}}},$ 

где ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_c$${\vec r}_{c}$  — радиус-вектор центра масс, ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_i$${\vec r}_{i}$  — радиус-вектор i-й частицы системы, $E_i$$E_{i}$  — полная энергия i-й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами.

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (англ. center-of-mass): оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}_c=\frac{c^2}{\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{E}_i}\cdot <!--\; \cdot \; -->\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}}_i.$${\vec v}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec p}_{i}.$ 

Смежные понятияПравить

Центр масс vs. барицентрПравить

 

Движение космических тел вокруг барицентра.

Термин «центр масс» синонимичен одному из значений понятия барицентр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр), однако последнее применяется преимущественно в задачах астрофизики и небесной механики. Под барицентром подразумевается общий для нескольких небесных тел центр масс, вокруг которого эти тела движутся. Примером может выступить совместное движение планеты и звезды (см. рис.) или компонент двойных звёзд. Центр масс (барицентр) в таком случае находится на отрезке длины $l$$l$ , соединяющем тела массами $m_1$$m_1$  и $m_2$$m_2$ , на удалении $s=m_{2}l/(m_1+m_2)$$s=m_{2}l/(m_{1}+m_{2})$  от тела $m_1$$m_1$ .

Другое значение слова барицентр относится, скорее, к геометрии, нежели к физике; в этом значении выражение для координаты барицентра отличается от формулы для центра масс отсутствием плотности (как если бы всегда было $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=$$\rho =$  const).

Центр масс vs. центр тяжестиПравить

Центр тяжести (в данном случае = центр масс), демонстрация

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

См. такжеПравить

• Классическая механика
• Теоретическая механика
• Теорема о движении центра масс системы
• Неваляшка
• Барицентр
• Центроид треугольника

ЛитератураПравить

• Бобылёв Д. К. Центр, в физике // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Журавлёв В. Ф.  Основы теоретической механики. 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-94052-041-3..