Постоянная эластичность замещения

Постоянная эластичность замещения (англ. constant elasticity of substitution, CES) — свойство, которым может обладать производственная функция или функция полезности. Постоянство эластичности замещения означает, что эластичность пропорции аргументов функции по отношению к пропорции их предельных продуктов будет неизменной при любых значениях аргументов. Функции с постоянной эластичностью замещения иногда называют функциями CES или CES-функциями по английской аббревиатуре данного термина. Некоторые другие популярные производственные функции представляют собой частные или предельные случаи данной функции. Например, функция Кобба — Дугласа является функцией с единичной эластичностью замещения, а производственная функция Леонтьева — с нулевой эластичностью замещения.

Формальное определение Править

Однородная функция CES в дискретном случае имеет следующий вид:

$F(x_1,...,x_n)=A{\left(\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i{x}_i^{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\right)}^{\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}$$F(x_{1},...,x_{n})=A\left(\sum _{i}\alpha _{i}x_{i}^{\rho }\right)^{\frac {\beta }{\rho }}$ , где $\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i=1$$\sum _{i}\alpha _{i}=1$ , ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i>0,A>0$$\alpha _{i}>0,A>0$ 

Параметр $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  определяет степень однородности, в частности при $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=1$$\beta =1$  имеем линейно-однородную функцию.

Иногда используют также обобщённую неоднородную функцию CES (функцию Солоу):

$F(x_1,...,x_n)=A{\left(\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i{x}_i^{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_i}\right)}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$F(x_{1},...,x_{n})=A\left(\sum _{i}\alpha _{i}x_{i}^{\rho _{i}}\right)^{\beta }$ 

Однородная функция CES в непрерывном случае имеет следующий вид:

$F(x)={\int <!--\; \int \; -->}_0^1{\left(x_i^{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}di$$F(x)=\int _{0}^{1}\left(x_{i}^{\rho }\right)^{\frac {1}{\rho }}di$ 

Здесь множество благ или факторов производства $x$$x$  представляет собой единичный континуум.

Свойства и связь с другими функциями Править

Основное свойство данной функции — постоянная эластичность замещения. А именно, можно показать, что эластичность замещения для данной функции равна

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$$\sigma ={\frac {1}{1-\rho }}$ 

Если $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  стремится к нулю, то данная функция стремится к производственной функции Кобба-Дугласа, эластичность замещения которой как раз равна 1. Если $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  стремится к бесконечности, то имеем функцию с нулевой эластичностью замещения — производственную функцию Леонтьева.

Использование Править

Функция полезности с постоянной эластичностью замещения используется в модели монополистической конкуренции Диксита — Стиглица — Кругмана. Модель позволяет анализировать рынки несовершенных субститутов. Она объясняет появление наценки, то есть превышение цены товара над предельными издержками. В предельном случае, когда параметр функции стремится к единице, эластичность становится равной бесконечности. При этом модель описывает совершенно конкурентный рынок.

См. также Править

• Эластичность замещения
• Производственная функция
• Функция Кобба — Дугласа