Функция Леонтьева

В экономической теории функция Леонтьева — производственная функция (либо функция полезности), в которой факторы производства использованы в фиксированных пропорциях, поскольку факторы являются абсолютными комплементами. Функция названа в честь американского экономиста российского происхождения Василия Леонтьева. Функция Леонтьева является предельным случаем Функции CES — класса функций, обладающих свойством постоянной эластичности замещения.

Функция Леонтьева с двумя аргументами. Отмечены изокванты

В простейшем случае с двумя факторами производства имеем

$q=\text{Min}\left(\frac{z_1}{a},\frac{z_2}{b}\right)$$q={\text{Min}}\left({\frac {z_{1}}{a}},{\frac {z_{2}}{b}}\right)$

где q есть количество продукции, z₁ и z₂ — количество затраченных факторов производства, a и b — определяемые технологией постоянные величины.

Пример примененияПравить

Предположим, что есть два фактора производства, «шины» и «рули». Фирма производит четырёхколёсные автомобили. В приведённой выше формуле величина q будет соответствовать количеству выпущенных машин, z₁ и z₂ — количеству использованных в производстве шин и рулей соответственно. Тогда функция Леонтьева принимает вид

Количество машин= Min{¼ от количества шин, 1 от количества рулей}.

Производственная функцияПравить

Функция Леонтьева используется в качестве производственной функции в модели Харрода — Домара:

$Y_t=min(A{K}_t,B{L}_t)$$Y_{t}=min(AK_{t},BL_{t})$ ,

где $A$$A$  и $B$$B$  — экзогенные производственные параметры, $K$$K$  — капитал, $L$$L$  — труд.

 

Производственная функция Леонтьева

 

Модель Харрода-Домара

Р. Барро и Х. Сала-и-Мартин отмечают, что производственная функция Леонтьева (функция с фиксированными пропорциями) является частным случаем CES-функции:

$Y=A\cdot <!--\; \cdot \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{K}^{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}+(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})L^{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}{)}^{\frac{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}}$$Y=A{\cdot }{\Big (}\alpha K^{\Psi }+(1-\alpha )L^{\Psi }{\Big )}^{\frac {\nu }{\Psi }}$ 

в случае когда $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\Psi \to -\infty$  она принимает вид функции Леонтьева:

$Y=F(L,K)=min(AK,BL)$$Y=F(L,K)=min(AK,BL)$ ,

где $A>0$$A>0$  и $B>0$$B>0$  — константы.

Таким образом, при $AK=BL$$AK=BL$  — все работники и машины загружены; при $AK>BL$$AK>BL$  — капитал используется в объёме $(B/A)L$$(B/A)L$ , а оставшийся не востребован; при $AK<BL$  — объём труда используется в объеме $(A/B)K$$(A/B)K$ , а остальной остается безработным. Допущение об отсутствии взаимозаменяемости между капиталом и трудом приводит к тому, что существует или бесконечный рост безработицы или простой оборудования.

При подушевом рассмотрении производственная функция имеет вид:

$y=min(Ak,B)$$y=min(Ak,B)$ ,

где $y=Y/L$$y=Y/L$ , $k=K/L$$k=K/L$ .

При $k<B/A$  капитал полностью используется и $y=Ak$$y=Ak$ , и кривая производственной функции пересекает ноль и имеет наклон $A$$A$ .

При $k>B/A$$k>B/A$  капитал постоянен и $Y=BL$$Y=BL$ , $y=B$$y=B$ . При $k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$k\to \infty$  предельный продукт $f^{{}^{\prime }}(k)=0$$f^{'}(k)=0$ , а значит условие Инады выполнено, производственная функция не генерирует эндогенный рост.

При $k<B/A$  форма кривой сбережения $sf(k)/k$$sf(k)/k$  — прямая на уровне $sA$$sA$ , а при $k>B/A$$k>B/A$  кривая сбережения стремится к нулю при $k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$k\to \infty$ .

Кривая амортизация $(n+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})$$(n+\delta )$  имеет форму горизонтальной прямой на уровне $(n+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})$$(n+\delta )$ .

При низкой ставке сбережения $sA<n+\delta$  кривая сбережения не пересекает кривую амортизации, так что стационарного состояния $k^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$k^{*}$  нет, темп прироста капитала отрицателен, экономика сжимается $k,y,c\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$k,y,c\to \infty$ , в ней постоянно растущая безработица.

При высокой ставке сбережения $sA>n+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$sA>n+\delta$  кривая сбережения приближается к нулю при $k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$k\to \infty$  и пересекает кривую амортизации в точке устойчивого стационарного значения $k^{\ast <!--\; \ast \; -->}>B/A>$$k^{*}>B/A>$ , так что темп прироста капитала отрицателен при $k>k^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$k>k^{*}$ , а при $k<k^{*}$  положителен. При $k^{>}\ast <!--\; \ast \; -->B/A$$k^{>}*B/A$  простаивает оборудование, часть капитала не востребована и монотонно возрастает, но при этом нет незанятых работников. Так как $k$$k$  — константа в стационарном состоянии, то темп роста $K$$K$  равен темпу роста $L$$L$  и равен $n$$n$ . Доля используемого оборудования постоянна, количество невостребованного оборудования растет с темпом $n$$n$ . Стационарное состояние, в котором капитал и труд полностью востребованы в производстве, $sA=n+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$sA=n+\delta$ .

См. такжеПравить

• Функция Кобба — Дугласа
• Изокванта

ЛитератураПравить

• Solow R. M. A Contribution to the Theory of Economic Growth // The Quarterly Journal of Economics. — 1956. — Февраль (vol. 70, № 1). — P. 65—94.
• Allen R. G. D. Macro-economic Theory: A Mathematical Treatment (англ.). — London: Macmillan, 1968. — P. 35.
• Барро Р. Д., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост / Пер. с англ.. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Нуреев Р. М. Экономика развития: модели становления рыночной экономики. — М.: НОРМА, 2008. — 367 с. — ISBN 978-5-468-00159-2.