Функция Кобба — Дугласа

Функция Кобба — Дугласа — производственная функция (или функция полезности), отражающая зависимость объёма производства $Q$$Q$ от создающих его факторов производства — затрат труда $L$$L$ и капитала $K$$K$.

Функция Кобба-Дугласа

Впервые была предложена Кнутом Викселлем. В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в работе «Теория производства». В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путём определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объём выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

Общий вид функции:

$Q=A\times <!--\; \times \; -->L^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\times <!--\; \times \; -->K^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$Q=A\times L^{{\alpha }}\times K^{{\beta }}$,

где $A$$A$ — технологический коэффициент, $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\alpha \geqslant 0$ — коэффициент эластичности по труду, а $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\beta \geqslant 0$ — коэффициент эластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени ($\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha +\beta$) равна единице, то функция Кобба — Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, — убывающую. Изокванта, соответствующая функции Кобба — Дугласа, будет выпуклой и «гладкой».

Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США, в виде равенства:

$Q\sim <!--\; \sim \; -->L^{0.73}\times <!--\; \times \; -->K^{0.27}$$Q\sim L^{{0.73}}\times K^{{0.27}}$.

Обобщением функции Кобба — Дугласа является функция с постоянной эластичностью замещения факторов (CES-функция): $Q=A[\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{L}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{K}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{]}^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}$$Q=A[\alpha L^{{-\rho }}+\beta K^{{-\rho }}]^{{-{\frac {1}{\rho }}}}$, для которой в пределе при $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\to <!--\; \to \; -->0$$\rho \rightarrow 0$ получаем $Q=A\times <!--\; \times \; -->L^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\times <!--\; \times \; -->K^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$Q=A\times L^{{\alpha }}\times K^{{\beta }}$.

РазногласияПравить

Ни Кобб, ни Дуглас не предоставили теоретических обоснований постоянства коэффициента $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  в разных секторах экономики. Например, рассмотрев функции для двух секторов экономики с одинаковыми технологическими коэффициентами:

$Q_1=A\times <!--\; \times \; -->L_1^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\times <!--\; \times \; -->K_1^{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$Q_{{1}}=A\times L_{{1}}^{{\lambda }}\times K_{{1}}^{{1-\lambda }}$ ,

$Q_2=A\times <!--\; \times \; -->L_2^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\times <!--\; \times \; -->K_2^{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$Q_{{2}}=A\times L_{{2}}^{{\lambda }}\times K_{{2}}^{{1-\lambda }}$ ,

в сумме не будет получаться ожидаемое:

$Q_1+Q_2=A\times <!--\; \times \; -->(L_1+L_2{)}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\times <!--\; \times \; -->(K_1+K_2{)}^{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$Q_{{1}}+Q_{{2}}=A\times (L_{{1}}+L_{{2}})^{{\lambda }}\times (K_{{1}}+K_{{2}})^{{1-\lambda }}$ .

Равенство возможно лишь если:

$\frac{L_1}{L_2}=\frac{K_1}{K_2}$${\frac {L_{{1}}}{L_{{2}}}}={\frac {K_{{1}}}{K_{{2}}}}$ .

См. такжеПравить

• Модель Солоу
• Функция Леонтьева

ЛитератураПравить

• Renshaw, Geoff. Maths for Economics (англ.). — New York: Oxford University Press, 2005. — P. 516—526. — ISBN 0-19-926746-4.