Функция Фаддеевой

Функция Фаддеевой — это комплексная функция ошибок от комплексного аргумента

$w(z):=e^{-<!--\; -\; -->z^2}\mathrm{erfc}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->iz)=\mathrm{erfcx}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->iz)=e^{-<!--\; -\; -->z^2}\left(1+\frac{2i}{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^z{e}^{t^2}\text{d}t\right).$$w(z):=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz)=e^{-z^{2}}\left(1+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{t^{2}}{\text{d}}t\right).$

Функция Фаддеевой связана с функцией Доусона, профилем Фогта, интегралом Френеля и появляется в различных физических задачах при описании электромагнитных взаимодействий в средах. Функция впервые была описана и затабулирована в статье В. Н. Фаддеевой и Н. М. Терентьева.

CвойстваПравить

Действительная и мнимая частиПравить

Разложение на действительную и мнимую части обычно записывают как

$w(x+iy)=V(x,y)+iL(x,y)$$w(x+iy)=V(x,y)+iL(x,y)$ ,

где V и L иногда называются действительной и мнимой функциями Фогта, поскольку V(x, y) с точностью до фактора является профилем Фогта. Если рассматривать V(x, y) как профиль поглощения спектральной линии, то L(x, y) является соответствующей ей дисперсионной кривой.

ЧётностьПравить

При изменении знака аргумента, функция Фаддеевой может быть записана как

$w(-<!--\; -\; -->z)=2e^{-<!--\; -\; -->z^2}-<!--\; -\; -->w(z)$$w(-z)=2e^{-z^{2}}-w(z)$ 

или

$w(-<!--\; -\; -->z)=w(z^{\ast <!--\; \ast \; -->}{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$w(-z)=w(z^{*})^{*}$ ,

где * означает комплексное сопряжение.

Интегральное представлениеПравить

Функция Фаддеевой может быть представлена в виде

$w(z)=\frac{i}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{e^{-<!--\; -\; -->t^2}}{z-<!--\; -\; -->t}dt=\frac{2iz}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{e^{-<!--\; -\; -->t^2}}{z^2-<!--\; -\; -->t^2}dt,\mathrm{Im}<!--\; \; -->z>0$$w(z)={\frac {i}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z-t}}dt={\frac {2iz}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z^{2}-t^{2}}}dt,\qquad \operatorname {Im} z>0$ ,

то есть как свёртка Гауссовой функции и комплексного лоренцевского профиля.

ЛитератураПравить

• В. Н. Фаддеева, Н. М. Терентьев (1954), Таблицы значений функции w(z)=e⁻z² (l+2i/√π z∫o et² dt) от комплексного аргумента Под ред. акад. В. А. Фока., (Математические таблицы/ Акад. наук СССР. Матем. ин-т им. В. А. Стеклова. Ленингр. отд-ние; Вып. 3), Москва: Гостехиздат 

Вычислительные ресурсыПравить

• libcerf Численная библиотека на C для вычисления комплексных функций ошибок содержит в частности функцию w_of_z(z) (с точностью не хуже 13 знаков), которая также используется для вычислений многих других функций в библиотеке.