Функция Гомпертца

Кривая Гомпертца или функция Гомпертца, названная в честь Бенджамина Гомпертца, является сигмовидной функцией. Это тип математической модели для временных рядов, где рост медленнее в начале и в конце периода. Она напоминает логистическую кривую, но не симметричную, а с более пологим правым хвостом, то есть замедление роста происходит не так быстро, как происходило его ускорение.

Графики кривых Гомпертца, показывающие влияние изменения одного из параметров при сохранении других постоянными

Вариация $a$$a$

Вариация $b$$b$

Вариация $c$$c$

ФормулаПравить

$y(t)=a{e}^{b{e}^{ct}}$$y(t)=ae^{{be^{{ct}}}}$ 

где

• a верхняя асимптота $a{e}^{b{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}=a{e}^0=a$$ae^{{be^{{-\infty }}}}=ae^{0}=a$ 
• b, c отрицательные числа (параметры роста)
• b устанавливает смещение по x
• c задаёт темп роста (масштабирование по x)
• e число Эйлера (e = 2.71828…)

ПроизводнаяПравить

Функция кривой может быть получена из закона смертности Гомпертца, в котором говорится, что уровень смертности (распада) экспоненциально падает с возрастом.

$k^r\propto <!--\; \propto \; -->\frac{1}{y(t)}$$k^{{r}}\propto {\frac {1}{y(t)}}$ 

где

• $r=\frac{y^{\prime }(t)}{y(t)}$$r={\frac {y'(t)}{y(t)}}$  - темп роста.
• k - произвольная постоянная.

Примеры использованияПравить

Примеры использования для кривых Гомпертца включают в себя:

• Количество мобильных телефонов: пока стоимость была высокой рост был медленный, а затем период быстрого роста, а затем замедление когда было достигнуто насыщение.
• Население в ограниченном пространстве, так как уровень рождаемости сначала повышается, а затем медленно спадает по мере ограничения ресурсов.
• Моделирование роста опухоли.
• Моделирование роста википедии.

См. такжеПравить

• Распределение Гомпертца
• Кривая роста

Внешние ссылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Gompertz Curve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.