Кривая роста (спектроскопия)

Кривая роста — зависимость эквивалентной ширины $W$$W$ спектральной линии поглощения от количества атомов $N$$N$, которые поглощают излучение в этой линии. Как правило, о кривых роста говорят в отношении линий поглощения в спектрах звёзд.

Общий вид кривой роста

Кривую роста делят на три качественно различимых области. При малых $N$$N$ оптическая толщина поглощающего слоя мала, и эквивалентная ширина растёт прямо пропорционально $W\propto <!--\; \propto \; -->N$$W\propto N$ — эта часть кривой роста называется линейной. При достаточно большом $N$$N$ оптическая толщина становится больше единицы: центральная глубина линии перестаёт расти, происходит насыщение линии в центре и рост эквивалентной ширины продолжается за счёт крыльев линии. На этом участке кривой роста, называемом пологим, $W\propto <!--\; \propto \; -->\sqrt{\ln <!--\; \; -->N}$$W\propto {\sqrt {\ln N}}$. При ещё большем $N$$N$ начинают заметно расти части крыльев, описываемые лоренцевским профилем. Эта часть кривой роста называется областью затухания излучения, на ней $W\propto <!--\; \propto \; -->\sqrt{N}$$W\propto {\sqrt {N}}$.

Кривые роста можно рассчитать теоретически для различных условий в атмосфере звезды. По ним можно определять содержание тех или иных химических элементов в атмосфере звезды, а сравнивая теоретические кривые роста с наблюдаемыми, можно определять различные параметры атмосферы, от которых зависит вид самой кривой роста — например, температуру или скорость микротурбулентных движений.

Зависимость эквивалентной ширины линии поглощения от числа атомов, её образующих, впервые показал в 1931 году Марсел Миннарт.

ОписаниеПравить

Кривая роста — зависимость эквивалентной ширины $W$$W$  спектральной линии поглощения от количества атомов $N$$N$ , которые поглощают излучение в этой линии.

Как правило, о кривых роста говорят в отношении линий поглощения в спектрах звёзд. Излучение, выходящее из фотосферы звезды, имеет непрерывный спектр, но при прохождении его через внешние слои звёздной атмосферы излучение поглощается на некоторых длинах волн — в спектре появляются линии поглощения. В каждой такой спектральной линии излучение поглощается определённым атомом в некотором энергетическом состоянии, поэтому чем больше таких атомов на пути излучения, тем сильнее будет поглощение в спектральной линии.

Кривая роста может быть разделена на три части, в порядке возрастания $N$$N$ : линейную, где $W\propto <!--\; \propto \; -->N$$W\propto N$ ; пологую, или переходную, в которой $W\propto <!--\; \propto \; -->\sqrt{\ln <!--\; \; -->N}$$W\propto {\sqrt {\ln N}}$ ; и область затухания излучения, где $W\propto <!--\; \propto \; -->\sqrt{N}$$W\propto {\sqrt {N}}$ .

•  

  Вид профиля спектральной линии Лайман-альфа в единицах интенсивности непрерывного спектра при разных концентрациях водорода: от 10¹² атомов на см² для линии наименьшей глубины до 10²⁰ атомов на см² для самой глубокой линии. Между соседними линиями концентрация меняется в 10 раз.

•  

  Кривые роста для линии Лайман-альфа при разной доплеровской ширине линии $b_d$$b_{d}$ , связанной с половинной полушириной $g$$g$  гауссовского профиля линии (см. ниже^[⇨]) как $b_d=g/\sqrt{\ln <!--\; \; -->2}$$b_{d}=g/{\sqrt {\ln 2}}$ .

ТеорияПравить

Эквивалентная ширинаПравить

 

Кривая — профиль спектральной линии поглощения. Эквивалентная ширина W — это ширина прямоугольника (зелёный цвет) при условии, что его площадь равна площади над профилем линии (синий цвет).

Для описания интенсивности спектральных линий поглощения используется понятие эквивалентной ширины $W$$W$ : это размер области в длинах волн ($W_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$W_{\lambda }$ ) или в частотах ($W_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$W_{\nu }$ ), в которой непрерывный спектр излучает суммарно столько же энергии, сколько поглощается во всей линии.

Более строго $W$$W$  определяется следующим образом. Интенсивность излучения в спектре на частоте $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  обозначается как $I_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$I_{\nu }$ , а интенсивность в таком же спектре при отсутствии рассматриваемой линии — $I_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^0$$I_{\nu }^{0}$ : для нахождения $I_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^0$$I_{\nu }^{0}$  проводится экстраполяция соседних с линией областей спектра на область, где наблюдается линия, как если бы она отсутствовала. Вводится параметр $a_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=1-<!--\; -\; -->I_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}/I_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^0$$a_{\nu }=1-I_{\nu }/I_{\nu }^{0}$ , называемый глубиной линии и представляющий собой долю излучения на частоте $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$ , которая была поглощена. Тогда эквивалентная ширина связана с ним соотношением $W_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}={\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_1}^{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_2}{a}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}d\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$${\textstyle W_{\nu }=\int _{\nu _{1}}^{\nu _{2}}a_{\nu }d\nu }$  или $W_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}={\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1}^{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2}{a}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$${\textstyle W_{\lambda }=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}a_{\lambda }d\lambda }$  — аналогичные рассуждения можно провести для спектра по длинам волн, а не частотам. Теоретически интегрирование должно производиться от $0$$0$  до $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$ , но на практике интегрируют на конечном интервале, включающем в себя основные части линии — как правило, ширина интервала составляет не более нескольких десятков нанометров. В то же время $a_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$a_{\nu }$  связана с оптической толщиной поглощающего слоя ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$\tau _{\nu }$  на частоте $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  как $a_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$$a_{\nu }=1-e^{-\tau _{\nu }}$ , а ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$\tau _{\nu }$  прямо пропорциональна количеству атомов, отвечающих за поглощение в линии, на единицу площади на луче зрения $N$$N$ .

Поведение при малой оптической толщинеПравить

В любом случае, когда $N$$N$  мало, то мала и ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$\tau _{\nu }$  во всех частях линии. Тогда $a_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$$a_{\nu }=1-e^{-\tau _{\nu }}$  возрастает практически линейно с ростом ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$\tau _{\nu }$ , и, следовательно, $W\propto <!--\; \propto \; -->N$$W\propto N$ . Когда оптическая толщина становится достаточно большой, то рост $a_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$a_{\nu }$  в центре линии замедляется, а затем практически останавливается — линейный рост продолжается, пока оптическая толщина в центре линии ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0$$\tau _{0}$  по порядку величины меньше единицы. Увеличение $W$$W$  замедляется, но не прекращается, поскольку в крыльях — боковых частях линии — ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$\tau _{\nu }$  ещё невелико. Связь между $W$$W$  и $N$$N$  для оптически толстых сред зависит от вида профиля спектральной линии.

Поведение при большой оптической толщинеПравить

Как правило, различные механизмы уширения, отдельно взятые, приводят либо к гауссовскому распределению ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$\tau _{\nu }$  (например, тепловое движение атомов), либо к лоренцевскому распределению (к примеру, естественная ширина линии и уширение за счёт столкновений). Совместное действие этих механизмов приводит к образованию фойгтовского профиля, который является свёрткой гауссовского и лоренцевского. Поскольку в лоренцевском профиле крылья убывают гораздо медленнее, чем в гауссовском, то в соответствующем фойгтовском профиле дальние части крыльев в любом случае близки к лоренцевскому профилю. Вид центральной части линии зависит от ширин гауссовского и лоренцевского профилей: если гауссовский профиль значительно шире, то центральная часть фойгтовского профиля будет близка к гауссовскому, и наоборот.

Гауссовский профильПравить

Распределение оптической толщины в линии с гауссовским профилем имеет следующий вид:

$\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(x)={\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{x^2\ln <!--\; \; -->2}{g^2}\right),$$\tau (x)=\tau _{0}\exp \left(-{\frac {x^{2}\ln 2}{g^{2}}}\right),$ 

где ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0$$\tau _{0}$  — оптическая толщина в центре линии, $g$$g$  — половинная полуширина линии, $x$$x$  — расстояние до центра линии. Для удобства можно сделать замену $u=\frac{x\sqrt{\ln <!--\; \; -->2}}{g}$${\textstyle u={\frac {x{\sqrt {\ln 2}}}{g}}}$ , тогда $u$$u$  — расстояние от центра линии в величинах доплеровской ширины, равной $g/\sqrt{\ln <!--\; \; -->2}$$g/{\sqrt {\ln 2}}$ . Эквивалентная ширина линии с такими параметрами может быть выражена так:

$W=\frac{2g}{\sqrt{\ln <!--\; \; -->2}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\left(1-<!--\; -\; -->\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0{e}^{-<!--\; -\; -->u^2}\right]\right)du$$W={\frac {2g}{\sqrt {\ln 2}}}\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-\tau _{0}e^{-u^{2}}\right]\right)du$ 

Интеграл в этом выражении не берётся аналитически, но можно приближённо считать, что при больших ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0$$\tau _{0}$ , соответствующих насыщенным линиям, подынтегральное выражение близко к 0 при больших $u$$u$  и к 1 при малых. Условием границы между «большими» и «малыми» $u$$u$  можно взять значение $u_0$$u_{0}$ , при котором ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0{e}^{-<!--\; -\; -->u_0^2}=1$$\tau _{0}e^{-u_{0}^{2}}=1$ . Это условие выполняется при $u_0=\sqrt{\ln <!--\; \; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0}$$u_{0}={\sqrt {\ln \tau _{0}}}$ , так что $W$$W$  с хорошей точностью оказывается пропорционально $\sqrt{\ln <!--\; \; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0}$${\sqrt {\ln \tau _{0}}}$ , а значит, $W\propto <!--\; \propto \; -->\sqrt{\ln <!--\; \; -->N}$$W\propto {\sqrt {\ln N}}$ . Приближённое вычисление самого интеграла приводит к такому же результату.

Лоренцевский профильПравить

В линии с лоренцевским профилем распределение оптической толщины записывают в виде:

$\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(x)={\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0\frac{l^2}{l^2+x^2},$$\tau (x)=\tau _{0}{\frac {l^{2}}{l^{2}+x^{2}}},$ 

где ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0$$\tau _{0}$  — оптическая толщина в центре линии, $l$$l$  — половинная полуширина линии, $x$$x$  — расстояние до центра линии. Для удобства делается замена $y=x/l$${\textstyle y=x/l}$ , тогда $y$$y$  — расстояние от центра линии в единицах половинной полуширины. Эквивалентная ширина в этом случае принимает вид:

$W=2l{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\left(1-<!--\; -\; -->\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0}{y^2+1}\right]\right)dy$$W=2l\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-{\frac {\tau _{0}}{y^{2}+1}}\right]\right)dy$ 

При достаточно больших ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0$$\tau _{0}$  центр линии оказывается насыщенным, а убывание оптической толщины в крыльях происходит приблизительно как $y^{-<!--\; -\; -->2}$$y^{-2}$ . Тогда ширина приближённо выражается:

$W=2l{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\left(1-<!--\; -\; -->\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0}{y^2}\right]\right)dy$$W=2l\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-{\frac {\tau _{0}}{y^{2}}}\right]\right)dy$ 

Если сделать замену $z^2={\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0/u^2$${\textstyle z^{2}=\tau _{0}/u^{2}}$ :

$W=2l\sqrt{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\left(1-<!--\; -\; -->\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->z^2\right]\right)d(1/z)$$W=2l{\sqrt {\tau _{0}}}\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-z^{2}\right]\right)d(1/z)$ 

Таким образом, для лоренцевского профиля $W$$W$  растёт пропорционально$\sqrt{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0}$${\sqrt {\tau _{0}}}$ , а значит, $W\propto <!--\; \propto \; -->\sqrt{N}$$W\propto {\sqrt {N}}$ .

Фойгтовский профильПравить

Линии поглощения в спектрах звёзд, как правило, описываются фойгтовским профилем, в котором лоренцевская ширина очень мала по сравнению с гауссовской. Это значит, что центральные части линий близки к гауссовским, а крылья — к лоренцевским.

Таким образом, при достаточно больших значениях $N$$N$  оптическая толщина в центре становится больше единицы, но крылья лоренцевского профиля ещё слишком слабы, и рост $W$$W$  происходит в основном за счёт областей, где профиль линии близок к гауссовскому — пропорционально $\sqrt{\ln <!--\; \; -->N}$${\sqrt {\ln N}}$ . При очень больших $N$$N$  дальние части крыльев линии, описываемые лоренцевским профилем, становятся достаточно сильными и $W$$W$  начинает расти приблизительно пропорционально $\sqrt{N}$${\sqrt {N}}$ . Типичное значение оптической толщины в центре линии, при которой происходит переход от пологой части кривой роста к области радиационного затухания, составляет около 10³, хотя оно зависит от отношения лоренцевской и гауссовской ширины: чем больше лоренцевская ширина, тем при меньших ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0$$\tau _{0}$  происходит переход.

ИспользованиеПравить

Кривые роста можно рассчитать теоретически для заданной модели звёздной атмосферы — в общем случае для этого необходимо решать уравнение переноса излучения для заданных условий в атмосфере звезды, таких как температура, плотность вещества и других параметров в зависимости от глубины в атмосфере. Таким образом, сравнение теоретических кривых роста с наблюдаемыми позволяет измерять те параметры звёзд, от которых зависит кривая роста, а эквивалентные ширины линий позволяют определять содержание соответствующих химических элементов.

Для отдельно взятой звезды кривая роста определённой линии может быть построена по мультиплетам — наборам спектральных линий, которые соответствуют переходам с общего нижнего уровня. Число атомов $N$$N$  неизвестно для данной звезды, но для всех этих переходов заведомо одно и то же. Кроме того, обычно известны вероятности переходов, поэтому для мультиплета может быть выбрано подходящее семейство кривых роста и определено $N$$N$ .

Вид кривой роста зависит, к примеру, от температуры звезды и от скорости микротурбулентных движений газа в ней. Повышение температуры и увеличение скорости микротурбулентности увеличивают гауссовскую ширину линии, уменьшая при этом оптическую глубину в её центре — при этом эквивалентная ширина остаётся прежней, но насыщение линии и прекращение линейного роста наступает при большем $N$$N$  и при большей эквивалентной ширине. Кроме того, микротурбулентность и температура по-разному влияют на кривую роста: при одной и той же температуре атомы разных масс имеют разные средние скорости, и гауссовская ширина линий таких атомов различается. Микротурбулентность же вызывает движение с одинаковыми скоростями — это позволяет разделять эффекты температуры и микротурбулентности.

История изученияПравить

В 1931 году Марсел Миннарт впервые показал, как эквивалентная ширина линии поглощения зависит от числа атомов, её образующих. Другие учёные, среди которых были Дональд Мензел и Альбрехт Унзольд, впоследствии дорабатывали теорию кривой роста.

ЛитератураПравить

• Соболев В. В. Курс теоретической астрофизики. — Изд. 3-е, переработанное. — М.: Наука, 1985. — 504 с.