Формула Лейбница (производной произведения)

Формула Лейбница для $n$$n$-ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай $n$$n$-кратного дифференцирования.

Пусть функции $f(z)$$f(z)$ и $g(z)$$g(z)$ — $n$$n$ раз дифференцируемые функции, тогда

${\left(f\cdot <!--\; \cdot \; -->g\right)}^{(n)}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_n^k{f}^{(n-<!--\; -\; -->k)}{g}^{(k)},$$\left(f\cdot g\right)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{(n-k)}}g^{{(k)}}},$ где $C_n^k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-<!--\; -\; -->k)!}$$C_{n}^{k}={n \choose k}={{n!} \over {k!\;(n-k)!}}$ — биномиальные коэффициенты.

ПримерыПравить

При $n=1$$n=1$  получается известное правило производной произведения:

$(f\cdot <!--\; \cdot \; -->g{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }.$$(f\cdot g)'={f'g}+{fg'}.$ 

В случае $n=2$$n=2$ , например, имеем:

$(f\cdot <!--\; \cdot \; -->g{)}^{″}=\underset{k=0}{\overset{2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_2^k{f}^{(2-<!--\; -\; -->k)}{g}^{(k)}=f^{″}g+2f^{\prime }{g}^{\prime }+f{g}^{″}.$$(f\cdot g)''=\sum \limits _{{k=0}}^{{2}}{C_{2}^{k}f^{{(2-k)}}g^{{(k)}}}={f''g}+{2f'g'}+{fg''}.$ 

В случае $n=3$$n=3$ , например, имеем:

$(f\cdot <!--\; \cdot \; -->g{)}^{‴}=\underset{k=0}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_3^k{f}^{(3-<!--\; -\; -->k)}{g}^{(k)}=f^{‴}g+3f^{″}{g}^{\prime }+3f^{\prime }{g}^{″}+f{g}^{‴}.$$(f\cdot g)'''=\sum \limits _{k=0}^{3}{C_{3}^{k}f^{(3-k)}g^{(k)}}={f'''g}+{3f''g'}+{3f'g''}+{fg'''}.$ 

В случае $n=4$$n=4$ , например, имеем:

$(f\cdot <!--\; \cdot \; -->g{)}^{(4)}=\underset{k=0}{\overset{4}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_4^k{f}^{(4-<!--\; -\; -->k)}{g}^{(k)}=f^{(4)}g+4f^{(3)}{g}^{(1)}+6f^{(2)}{g}^{(2)}+4f^{(1)}{g}^{(3)}+f{g}^{(4)}.$$(f\cdot g)^{(4)}=\sum \limits _{k=0}^{4}{C_{4}^{k}f^{(4-k)}g^{(k)}}={f^{(4)}g}+{4f^{(3)}g^{(1)}}+{6f^{(2)}g^{(2)}}+{4f^{(1)}g^{(3)}}+{fg^{(4)}}.$ 

Доказательство и обобщениеПравить

Доказательство формулы осуществляется по индукции с использованием правила произведения. В мультииндексной записи формула может быть записана в более общем виде:

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(fg)=\underset{\{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}:\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\}}{\sum <!--\; \sum \; -->}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}})({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}f)({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}g).$$\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{{\{\beta \,:\,\beta \leq \alpha \}}}{\alpha \choose \beta }(\partial ^{{\alpha -\beta }}f)(\partial ^{{\beta }}g).$ 

Эта формула может быть использована для получения выражения для композиции дифференциальных операторов. В самом деле, пусть P и Q — дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируемы достаточное число раз) и $R=P\circ <!--\; \circ \; -->Q$$R=P\circ Q$ . Если R также является дифференциальным оператором, то справедливо равенство:

$R(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=e^{-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}R(e^{⟨<!--\; ⟨\; -->x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}).$$R(x,\xi )=e^{{-{\langle x,\xi \rangle }}}R(e^{{\langle x,\xi \rangle }}).$ 

Непосредственное вычисление дает:

$R(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}!}{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\right)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}P(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}){\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\right)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}Q(x,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}).$$R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).$ 

Эта формула также известна как формула Лейбница.

ЛитератураПравить

• Шипачев В. С. Основы высшей математики: Учебное пособие для вузов / Под ред. акад. А. Н. Тихонова. — М.: Высшая школа, 1989. — 479 с. — ISBN 5-06-000048-6.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. — 2-e. — М.: ФАЗИС, 1997. — 554 с. — ISBN 5-7036-0031-6.