Уравнение четвёртой степени

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

График многочлена 4-й степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.

$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0,a\ne <!--\; \ne \; -->0.$$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.$

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

Так как функция $f(x)$$f(x)$ является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если $a>0$$a>0$, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный минимум. Аналогично, если $a<0$, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный максимум.

Теорема Виета для уравнения четвёртой степениПравить

Корни уравнения четвёртой степени $x_1,x_2,x_3,x_4$$x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}$  связаны с коэффициентами $a,b,c,d,e$$a,\,b,\,c,\,d,\,e$  следующим образом:

$x_1+x_2+x_3+x_4=-<!--\; -\; -->\frac{b}{a},$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}},$ 

$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4=\frac{c}{a},$$x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{3}\,x_{4}={\frac {c}{a}},$ 

$x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4=-<!--\; -\; -->\frac{d}{a},$$x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}=-{\frac {d}{a}},$ 

$x_1{x}_2{x}_3{x}_4=\frac{e}{a}.$$x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}={\frac {e}{a}}.$ 

ИсторияПравить

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство».

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.

РешенияПравить

Решение через резольвентуПравить

Решение уравнения четвёртой степени

$x^4+p{x}^2+qx+r=0$$x^{4}+px^{2}+qx+r=0$ 

сводится к решению кубической резольвенты

$y^3-<!--\; -\; -->2p{y}^2+(p^2-<!--\; -\; -->4r)y+q^2=0$$y^{3}-2py^{2}+(p^{2}-4r)y+q^{2}=0$ 

Корни резольвенты $y_1,y_2,y_3$$y_{1},y_{2},y_{3}$  связаны с корнями исходного уравнения $x_1,x_2,x_3,x_4$$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$  (которые и нужно найти) следующими соотношениями:

$y_1=(x_1+x_2)(x_3+x_4)$$y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})$ 

$y_2=(x_1+x_3)(x_2+x_4)$$y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})$ 

$y_3=(x_1+x_4)(x_2+x_3)$$y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})$ 

Корни резольвенты могут быть найдены по формуле Кардано. Три формулы соотношений между $y_i$$y_{i}$  и $x_i$$x_{i}$  вместе с уравнением (соотношение Виета для коэффициента при $x^3$$x^{3}$ )

$x_1+x_2+x_3+x_4=0$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$ 

дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.

Решение Декарта — ЭйлераПравить

В уравнении четвёртой степени

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0,a\ne <!--\; \ne \; -->0$$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0$ 

сделаем подстановку $x=y-<!--\; -\; -->\frac{b}{4a}$$x=y-{\frac {b}{4a}}$ , получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

$y^4+p{y}^2+qy+r=0,$$y^{4}+py^{2}+qy+r=0,$ 

где

$p=\frac{8ac-<!--\; -\; -->3b^2}{8a^2},$$p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}},$ 

$q=\frac{8a^{2}d-<!--\; -\; -->4abc+b^3}{8a^3},$$q={\frac {8a^{2}d-4abc+b^{3}}{8a^{3}}},$ 

$r=\frac{256a^{3}e-<!--\; -\; -->64a^{2}bd+16a{b}^{2}c-<!--\; -\; -->3b^4}{256a^4}.$$r={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}.$ 

Корни $y_1,y_2,y_3,y_4$$y_{1},\,y_{2},\,y_{3},\,y_{4}$  такого уравнения равны одному из следующих выражений:

$\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{z_1}$$\pm {\sqrt {z_{1}}}$  $\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{z_2}$$\pm {\sqrt {z_{2}}}$  $\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{z_3},$$\pm {\sqrt {z_{3}}},$ 

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

$(\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{z_1})(\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{z_2})(\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{z_3})=-<!--\; -\; -->\frac{q}{8},$$(\pm {\sqrt {z_{1}}})(\pm {\sqrt {z_{2}}})(\pm {\sqrt {z_{3}}})=-{\frac {q}{8}},$ 

причём $z_1,z_2,z_3$$z_{1},\,z_{2},\,z_{3}$  — это корни кубического уравнения

$z^3+\frac{p}{2}{z}^2+\frac{p^2-<!--\; -\; -->4r}{16}z-<!--\; -\; -->\frac{q^2}{64}=0.$$z^{3}+{\frac {p}{2}}z^{2}+{\frac {p^{2}-4r}{16}}z-{\frac {q^{2}}{64}}=0.$ 

Решение ФеррариПравить

Основная статья: Метод Феррари

Решение уравнения четвёртой степени вида $x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$$x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$  может быть найдено по методу Феррари. Если $y_1$$y_1$  — произвольный корень кубического уравнения

$y^3-<!--\; -\; -->b{y}^2+(ac-<!--\; -\; -->4d)y-<!--\; -\; -->a^{2}d+4bd-<!--\; -\; -->c^2=0,$$y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y-a^{2}d+4bd-c^{2}=0,$

(2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

$x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-<!--\; -\; -->b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}{y}_1-<!--\; -\; -->c\right)x+\frac{y_1^2}{4}-<!--\; -\; -->d}$$x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}}$ 

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнениеПравить

Биквадратное уравнение — алгебраическое уравнение четвёртой степени вида $a{x}^4+b{x}^2+c=0$$ax^{4}+bx^{2}+c=0$ , где $a,b,c$$a,b,c$  — заданные комплексные числа и $a\ne 0$$a\not =0$ . Иначе говоря, это уравнение четвёртой степени, у которого второй и четвёртый коэффициенты равны нулю. Подстановкой $y=x^2;y⩾<!--\; ⩾\; -->0$$y=x^{2};y\geqslant 0$  оно сводится к квадратному уравнению относительно $y$$y$ .

Четыре его корня находятся по формуле

$x_{1,2,3,4}=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}}.$$x_{1,2,3,4}=\pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.$ 

Возвратные уравнения четвёртой степениПравить

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a=0$$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$  такого, что $a\ne <!--\; \ne \; -->0$$a \neq 0$ , решение находится приведением к виду:

$a\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+b\left(x+\frac{1}{x}\right)+c=0$$a\left(x^{2}+{1 \over x^{2}}\right)+b\left(x+{1 \over x}\right)+c=0$ ,

После замены $t=x+\frac{1}{x}$$t={x+{1 \over x}}$  ищется решение квадратного уравнения $a{t}^2+bt+c-<!--\; -\; -->2a=0$$at^{2}+bt+c-2a=0$ , а затем — квадратного уравнения $x^2-<!--\; -\; -->tx+1=0$$x^2 - tx + 1 = 0$ .

ЛитератураПравить

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 2003. — 832 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9.
• Лекция 4 в кн.: Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Математический дивертисмент. — М.: МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.

СсылкиПравить

• Решение Феррари (англ.). Дата обращения: 27 сентября 2009. Архивировано 19 февраля 2012 года.
• Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Biquadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Biquadratic equation (англ.) на сайте PlanetMath.