Уравнения Прока

Уравнения Прока — обобщение уравнений Максвелла, призванное описывать массивные частицы со спином 1. Уравнения Прока обычно записываются в виде

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i{F}^{ik}+m^2{A}^k=0$$\partial _{i}F^{ik}+m^{2}A^{k}=0$

$F^{kl}={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^k{A}^l-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^l{A}^k$$F^{kl}=\partial ^{k}A^{l}-\partial ^{l}A^{k}$,

где $F^{ik}$$\ F^{ik}$ — антисимметричный тензор электромагнитного поля:

$F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)$

Уравнения Прока также могут быть представлены в виде

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i{F}^{ik}+m^2{A}^k=0$$\partial _{i}F^{ik}+m^{2}A^{k}=0$

$({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_k{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^k+m^2)A^l=0$$(\partial _{k}\partial ^{k}+m^{2})A^{l}=0$.

Уравнения Прока не являются калибровочно-инвариантными.

Лагранжева плотностьПравить

Рассматривается поле четырех-потенциала A^μ = (φ/c, A), где φ — это электростатический потенциал, A — магнитный потенциал. Лагранжева плотность задана следующим образом:

$\mathcal{L}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{16\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}})({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}})+\frac{m^2{c}^2}{8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{A}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}.$${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{16\pi }}(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu })(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2}}{8\pi \hbar ^{2}}}A^{\nu }A_{\nu }.$ 

где c — скорость света, a ħ — приведенная постоянная Планка.

Вывод уравненияПравить

Уравнение Эйлера — Лагранжа движения для такого Лагранжиана, также называемое Уравнением Прока, имеет следующий вид:

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}})+{\left(\frac{mc}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\right)}^2{A}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=0$$\partial _{\mu }(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}A^{\nu }=0$ 

что эквивалентно следующему уравнению

$\left[{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}+{\left(\frac{mc}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\right)}^2\right]A^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=0$$\left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\nu }=0$ 

при условии

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=0$$\partial _{\mu }A^{\mu }=0$ 

которое является просто калибровкой Лоренца. При условии, что m = 0, уравнения обращаются в уравнения Максвелла в вакууме (то есть подразумевается отсутствие зарядов и токов). Уравнение Прока тесно связано с уравнением Клейна — Гордона — Фока.

В более привычных терминах уравнение имеет вид:

$\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{A}\right)=-<!--\; -\; -->{\left(\frac{mc}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\right)}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi$ 

$\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}\mathbf{A}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{A}\right)=-<!--\; -\; -->{\left(\frac{mc}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\right)}^2\mathbf{A}$$\Box \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {A}$ 

Также уравнение Прока можно вывести из теоретико-групповых соображений, как уравнение, инвариантное относительно преобразований Пуанкаре и описывающее волновую функцию элементарной частицы с массой $m$$m$ , спином $1$$1$ , положительной энергией, фиксированной P-чётностью.

ЛитератураПравить

• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Наука, 1980. — 320 с. (с. 29, 33).
• Райдер Л. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1987. — 511 с., (с. 86-87).
• Ициксон К., Зюбер Ж.—Б. Квантовая теория поля. Том 1. — М.: Мир, 1984. — 448 с. (с. 166).

См. такжеПравить

• Уравнение Дирака
• Уравнение Клейна — Гордона
• Уравнения Максвелла
• Прока, Александру

СсылкиПравить

• Уравнение Прока в «Физической энциклопедии»